根号(1-x)/(1+x) 的不定积分详解 - 求解步骤与结果

根号(1-x)/(1+x) 的不定积分详解/n/n本文将详细讲解如何求解不定积分 $/int{/frac{/sqrt{1-x}}{1+x}dx}$。我们将通过有理化、分部积分、代换和部分分式分解等方法来解决这个问题。/n/n1. 有理化/n/n首先，我们将被积函数的分母分解为 (1+x)(1-x)，然后使用分部积分法来消去分子中的根号部分。令 u=√(1-x)，dv=dx/(1+x)，则 du=-1/(2√(1-x))dx，v=ln|1+x|，于是：/n/n$$/int{/frac{/sqrt{1-x}}{1+x}dx} = /int u dv = uv - /int v du = /sqrt{1-x}/ln|1+x|+/int/frac{dx}{2(1+x)/sqrt{1-x}}$$/n/n2. 代换/n/n接下来，我们可以通过代换 y=√(1-x) 来将积分转化为 $/int/frac{dy}{(1-y^2)(1+y)}$。/n/n3. 部分分式分解/n/n然后，我们可以使用部分分式分解方法将 1/((1-y^2)(1+y)) 分解为 A/(1-y) + B/(1+y) + C/(1-y^2) 的形式，并代入到积分中进行求解。/n/n4. 求解结果/n/n通过计算，我们得到最终结果：/n/n$$/int{/frac{/sqrt{1-x}}{1+x}dx} = /sqrt{1-x}/ln|1+x|+/frac{1}{2}/ln|/frac{1+/sqrt{1-x}}{1-/sqrt{1-x}}|+C$$/n/n其中 C 为常数项。/n/n结论/n/n至此，我们成功地求解了不定积分 $/int{/frac{/sqrt{1-x}}{1+x}dx}$。