线性代数：ax=0 有非零解的充要条件

当矩阵 A 与向量 x 相乘，结果是一个新的向量，其每个分量都是 A 的一行与 x 的每个分量之间的点积。为了让结果向量为零向量，每个分量都必须为零，这意味着需要找到一个非零向量 x，它与 A 的每一行都垂直或正交。

如果 A 的每一行都垂直于一个非零向量，则该非零向量构成 A 的零空间。因此，当 A 的零空间不为零时，ax=0 有非零解。

具体来说，对于一个矩阵 A，当且仅当它的秩小于 A 的列数时，A 的零空间不为零，即 ax=0 有非零解。这是因为当矩阵的秩小于列数时，至少有一个列向量是线性相关的，即它可以由其他列向量的线性组合表示出来。如果向量 x 的对应分量为 0，那么当它乘以 A 时，结果向量的该列也将为 0。因此，ax=0 有非零解。

综上所述，ax=0 有非零解的充要条件是矩阵 A 的秩小于 A 的列数。