求解 (sin x)^2 的不定积分 - 详细步骤和公式

在数学中，不定积分是求解函数原函数的一种方法。对于给定的函数 f(x)，它的原函数是一个函数 F(x)，满足 F'(x) = f(x)。本文将探讨如何求解 (sin x)^2 的不定积分。

我们可以利用三角恒等式来解决这个问题。首先，我们将 (sin x)^2 写成 (sin x)(sin x) 的形式。然后，我们可以使用下面的三角恒等式之一：

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) 或 sin^2(x) = (1-cos(2x))/2

我们将使用第二个等式。将 (sin x)^2 写成 (1-cos(2x))/2 的形式，我们得到：

∫ (sin x)^2 dx = ∫ [(1-cos(2x))/2] dx

将右边的表达式展开并进行不定积分，我们得到：

∫ [(1-cos(2x))/2] dx = (1/2) ∫ (1 dx) - (1/2) ∫ cos(2x) dx

应用不定积分的性质，我们得到：

∫ [(1-cos(2x))/2] dx = (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C

其中，C 是任意常数。因此，(sin x)^2 的不定积分为：

∫ (sin x)^2 dx = (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C

这就是 (sin x)^2 的不定积分的解。我们可以使用这个结果来计算任何区间上的定积分。

总之，不定积分是求解函数原函数的一种方法。通过使用三角恒等式，我们可以将 (sin x)^2 写成 (1-cos(2x))/2 的形式，并计算出它的不定积分。最终结果是 (1/2) x - (1/4) sin(2x) + C，其中 C 是任意常数。这个结果可以用于计算任何区间上的定积分。