一阶线性微分方程 dy/dx+py+q=0 的求解方法

这是一个一阶线性微分方程，可以通过分离变量或者用积分因子的方法求解。

分离变量法：

将方程变形为dy/dx=-py-q，然后移项得dy/(-py-q)=dx，两边同时积分得

∫[dy/(-py-q)] = ∫dx

∫[1/(-p) * (dy/y+q/p)] = x + C

其中C为常数。

用积分因子法：

将方程变形为dy/dx+py=q，引入积分因子u(x)=exp(∫p(x)dx)，则有

u(x)dy/dx + u(x)p(x)y = u(x)q(x)

即(d/dx)(u(x)y) = u(x)q(x)，两边同时积分得

u(x)y = ∫[u(x)q(x)dx] + C

其中C为常数。

两种方法求解得到的通解是等价的。