双曲线离心率计算题：内切圆半径与焦点距离

解析：由于直线 $l$ 交双曲线的轴于点 $F$，因此 $F$ 是双曲线的中心点。设双曲线的方程为 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，则左、右焦点分别为 (-c,0) 和 (c,0)，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。由于双曲线右支上一点到左、右焦点的距离之差为 $2r$，因此设该点坐标为 (x,y)，则有：

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2r$

移项并平方可得：

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{c^2}{r^2}-2$

将 $r=1$ 代入上式，得到 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=c^2-2。由于内切圆的半径为 $1$，因此双曲线离心率为 $\frac{c}{b}=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}$。选项中只有 \textbf{(B)} 符合要求。