已知点 A(-1, 0), B(-1, 1) 和抛物线 C: y^2 = 4x, O 为坐标原点, 过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、P, 直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q, 证明直线 PQ 恒过一个定点并求出这个定点

首先，将抛物线的方程改写为$x = \frac{1}{4}y^2$。因为点$A(-1, 0)$在直线$l$上，所以直线$l$的方程可以写成$y = mx - 1$的形式。将这个方程代入抛物线的方程中，得到：

$$x = \frac{1}{4}y^2 = \frac{1}{4}(mx - 1)^2$$

化简得到：

$$4x = m^2x^2 - 2mx + 1$$

移项得到二次方程：

$$(m^2)x^2 - 2mx + 4x - 1 = 0$$

这个二次方程的两个根分别是$M$和$P$的横坐标，根据题目描述，它们的和是$-2$，即：

$$M_x + P_x = -2$$

因此，$Q$的横坐标可以表示为$-2-MB$，其中$MB$是直线$MB$的斜率，可以通过求导得到：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2x}$$

在点$B(-1, 1)$处的斜率为：

$$MB = \frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=-1,y=1} = -\frac{1}{2}$$

因此：

$$Q_x = -2 - MB = -\frac{3}{2}$$

现在我们来证明直线$PQ$恒过一个定点。首先，我们需要求出$PQ$的斜率$k$。根据题目描述，$PQ$是直线$MB$的一条截线，所以$PQ$的斜率等于$MB$的负数：

$$k = -MB = \frac{1}{2}$$

现在我们假设点$D$是直线$PQ$与$y$轴的交点，它的坐标为$(0, D_y)$。由于直线$PQ$的斜率为$\frac{1}{2}$，所以它的方程可以写成$y = \frac{1}{2}x + D_y$的形式。将$x = 0$代入这个方程，得到$y = D_y$，即直线$PQ$与$y$轴的交点的纵坐标等于$D_y$。现在我们来证明$D_y$是一个定值。

我们已经知道$Q_x = -\frac{3}{2}$，因此点$Q$的坐标为$(-\frac{3}{2}, Q_y)$，其中$Q_y$可以通过将$Q_x = -\frac{3}{2}$代入抛物线的方程得到：

$$Q_y = \sqrt{4Q_x} = \sqrt{-6}i$$

因此，$Q$是一个虚点，它的纵坐标为$Q_y = -\sqrt{6}$。现在我们将$Q$代入直线$PQ$的方程，得到：

$$-\sqrt{6} = \frac{1}{2}P_x + D_y$$

因为$P_x + M_x = -2$，所以$P_x = -2 - M_x = -2 - \frac{1}{4}y^2$。将$M$的纵坐标代入这个式子中，得到$P_x = -2 - \frac{1}{4}(0)^2 = -2$。因此：

$$D_y = -\sqrt{6} - \frac{1}{2}P_x = \frac{1}{\sqrt{6}}$$

因此，$D$的坐标为$(0, \frac{1}{\sqrt{6}})$，是一个定点。因此，我们证明了直线$PQ$恒过一个定点，这个定点的坐标为$(0, \frac{1}{\sqrt{6}})$。