抛物线与直线交点定点问题证明

首先，我们可以通过给定的点和抛物线方程求出抛物线的焦点F，因为抛物线的焦点在x轴上且到定点O的距离为p=1/4，所以有：

4p = 1

p = 1/4

抛物线焦点坐标为F(1/4, 0)

接下来，我们可以考虑如何证明直线PQ恒过一个定点。我们可以利用几何推理来证明：

首先，根据题意，点M在直线l上，所以直线OM斜率为k1=1。又因为点Q在抛物线C上，所以点Q的横坐标为xQ=2yQ^2。直线MB过点B(-1,1)且过点M，所以斜率为k2=(1-0)/(0-(-1))=1。因此，直线MB的方程为y=x+1。

由于点P在直线l上，所以直线OP斜率为k3=-1。又因为点Q在抛物线C上，所以点Q的纵坐标为yQ=±2√xQ。因此，直线PQ的斜率为：

k4 = (yQ-0)/(xQ-(-1)) = ±2√xQ/(xQ+1)

又因为直线PQ过点P(-1,0)，所以直线PQ的方程为：

y = ±2√xQ/(xQ+1)(x+1)

现在我们需要证明直线PQ过一个定点，也就是证明对于任意的点Q，直线PQ都过一个固定点。为了证明这一点，我们可以考虑证明直线PQ过直线OF的交点。因为OF是抛物线C的对称轴，所以点Q到OF的距离等于点M到OF的距离，即QF=MF。

首先，根据抛物线的性质，点Q和点M在抛物线C上的切线斜率相等，即：

4yQdy/dx = 1

4yMdy/dx = 1

因此，yQ=yM，即点Q和点M在y轴上的投影相等。因为点M在直线l上，所以直线OM的斜率为1，所以点M在x轴上的投影为1。又因为点Q在抛物线C上，所以点Q的横坐标为xQ=2yQ^2，所以点Q在x轴上的投影为2yQ^2。因此，有：

2yQ^2 = 1

yQ = ±1/√2

因此，点Q的坐标为：

(xQ, yQ) = (1/2, ±1/√2)

接着，我们可以求出点M的坐标。因为点M在直线l上，所以点M的横坐标为-1，纵坐标为0。因此，点M的坐标为(-1, 0)。

现在我们可以计算QF和MF的长度。对于点Q(1/2, ±1/√2)，有：

QF^2 = (1/2-1/4)^2 + (±1/√2)^2 = 1/16 + 1/2 = 9/16

对于点M(-1, 0)，有：

MF^2 = (-1-1/4)^2 + 0^2 = 25/16

因此，QF=MF=5/4。

现在我们可以计算直线PQ和直线OF的交点。对于点Q(1/2, ±1/√2)，直线PQ的方程为：

y = ±2/3(x+1)

对于直线OF，因为抛物线C的焦点坐标为F(1/4, 0)，所以直线OF的方程为x=1/4。

将直线OF的方程代入直线PQ的方程，得到：

y = ±2(x+1)/3

因此，直线PQ和直线OF的交点坐标为：

(x, y) = (1/2, ±1/2)

因此，我们证明了直线PQ恒过一个定点，且该定点的坐标为(1/2, ±1/2)。