最大乘积

题目描述

一个正整数可以表示为若干个互不相同的正整数之和，如 '6=1+5=2+4=1+2+3=6'，有 '4' 种表示方法，这 '4' 种表示方法里，拆分出的数字的乘积分别为 '5'、'8'、'6'、'6'。 给出 'n'，求 'n' 的所有表示方案中，拆分出的数字的乘积最大的方案，按升序依次输出拆分出的数字。

输入格式

从标准输入读入数据。 输入一个正整数 'n'（'n≤10^6'）。

输出格式

输出到标准输出。 按升序输出拆分出的数字。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

2 4

样例 #2

样例输入 #2

100

样例输出 #2

2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void init()
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;

    init();

    int max_val = 1;
    int max_cnt = 0;
    for (int i = 0; primes[i] <= n; i ++ )
    {
        int x = primes[i];
        int res = n;
        int cnt = 0;
        while (res >= x) res -= x, cnt ++ ;
        if (cnt > max_cnt) max_cnt = cnt, max_val = x;
    }

    cout << max_val;
    int res = n - max_val;
    while (res)
    {
        for (int i = 0; primes[i] <= res; i ++ )
        {
            int x = primes[i];
            if (res >= x && res - x >= max_val - x)
            {
                cout << ' ' << x;
                res -= x;
                break;
            }
        }
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

算法解析

1. 筛法求素数: 使用埃氏筛法求出 'n' 以内的所有素数，存储在 'primes' 数组中。
2. 最大值与次数: 遍历所有素数，计算每个素数能被 'n' 整除的次数，找出次数最多的素数，即 'max_val'。
3. 剩余部分拆分: 将 'n' 减去 'max_val'，得到剩余部分 'res'。再遍历素数，找到能被 'res' 整除，且能使得拆分后的数字不小于 'max_val' 的素数，并重复该过程，直到 'res' 为 '0'。

优化建议

1. 素数范围: 在遍历素数时，可以根据 'n' 的大小进行优化，例如当 'n' 较小时，可以只遍历较小的素数，避免不必要的计算。
2. 预处理: 可以将 'n' 以内的所有素数进行预处理，避免每次使用时都需要重新计算。
3. 其他算法: 可以尝试使用其他算法，例如贪心算法或动态规划，来进一步优化代码效率。

代码优化

// 省略部分代码

int main()
{
    cin >> n;

    init();

    // 预处理所有素数的次数
    int cnt[N] = {0};
    for (int i = 0; primes[i] <= n; i ++ )
    {
        int x = primes[i];
        int res = n;
        while (res >= x) res -= x, cnt[x] ++ ;
    }

    // 找出次数最多的素数
    int max_val = 1;
    for (int i = 0; primes[i] <= n; i ++ )
    {
        if (cnt[primes[i]] > cnt[max_val]) max_val = primes[i];
    }

    // 输出结果
    cout << max_val;
    int res = n - max_val;
    while (res)
    {
        for (int i = 0; primes[i] <= res; i ++ )
        {
            int x = primes[i];
            if (res >= x && res - x >= max_val - x && cnt[x] > 0)
            {
                cout << ' ' << x;
                res -= x;
                cnt[x] -- ;
                break;
            }
        }
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

总结

本文提供了求解最大乘积问题的C++代码实现和详细解析，并对算法进行优化。通过理解算法的思路和代码的实现，可以更好地解决类似问题。