正方形中动态几何问题：探索等补四边形与周长计算

正方形中动态几何问题：探索等补四边形与周长计算

问题描述：

如图 1 所示，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一动点 (E 不与 C、D 重合）。AE 交 BD 于点 F，过 F 作 FH⊥AE 交 BC 于点 H。

(1) 判断四边形 AFHB 是否为'等补四边形'并说明理由；

(2) 如图 2，连接 EH，求△CEH 的周长；

(3) 若四边形 ECHF 是'等补四边形'，求 CE 的长。

解答：

(1) 四边形 AFHB 不是等补四边形。

理由如下：

• 等补四边形要求四条边相等且对边平行，但是 AF 和 HB 不相等，不能构成等边四边形；
• 等补四边形还要求对角线相等，但是 AF 和 HB 的交点 E 不在对角线上，因此不能构成等补四边形。

**(2) 连接 EH 后，可以发现三角形 AEH 和三角形 AEB 相似，**因为它们有一个共角 ∠AEB，且 ∠AEH = ∠AEB = 90°，所以有：

$\frac{EH}{AB} = \frac{AE}{EB}$

即：

$EH = \frac{AE \times AB}{EB}$

又因为 AB = a，AE = a - CE，EB = CE，代入上式得：

$EH = \frac{(a - CE) \times a}{CE}$

所以 CEH 的周长为：

$CEH = CE + EH = CE + \frac{(a - CE) \times a}{CE}$

**(3) 若四边形 ECHF 是等补四边形，因此 CE = HF。**又因为 CEH 和 CHF 都是直角三角形，所以有：

$CE^2 + EH^2 = CH^2$

$HF^2 + CH^2 = CF^2$

将 CE = HF 代入第一个式子，得：

$CE^2 + EH^2 = HF^2 + CH^2$

即：

$EH^2 = CF^2 - CH^2$

又因为 CF = a，CH = CE，代入上式得：

$EH^2 = a^2 - CE^2$

所以：

$EH = \sqrt{a^2 - CE^2}$

将 EH 的表达式代入 (2) 中的式子，得：

$CEH = CE + \frac{(a - CE) \times a}{CE} = CE + \frac{a^2 - CE^2}{CE}$

由于 CEH 是等边四边形，因此 CE = CH = a/2，代入上式得：

$CEH = \frac{5}{4}a$