离散有限时间保险公司再保险策略的最优解分析

本文考虑一个离散有限时间 T 期模型，假设无风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 r_t，风险资产在第 t 期即时间段 (t, t+1] 的收益率为 R_t，t = 0, 1, ⋯, T-1。假设保险公司的初始财富为 w_0，令 π_t 表示保险公司在时刻 t 投资于风险资产的财富额，剩下的财富投资于无风险资产，c_t 表示保险公司在时刻 t 所收取的保费，z_t 为其在时刻 t 所需支出的索赔金额。z_t 和 R_t 相互独立（一般来讲，保险公司的索赔与证券资产收益率是相互独立的），且假定 z_t 在各阶段的期望和方差分别为 α_t，β_t^2。

支付的保费率为 δ(q_t) = (1 + θ_t)(1 - q_t) α_t，其中 θ_t 为再保险公司的安全负荷系数。

保险公司的财富过程为：

w_{t+1} = (w_t - π_t) r_t + π_t R_t + c_t - δ(q_t) - q_t z_t

假设无风险资产收益率 r_t 为会随时间变化的常数，风险资产收益率 R_t 服从均值和方差分别为 μ_t = E[R_t]，σ_t^2 = Var[R_t] 的正态分布。

保险公司的决策目标是追求自身终端财富的最大化。假设 U(∙):R→R，是严格递增严格凹的函数，即 U'(∙)>0 且 U''(∙)<0，表示保险公司的效用函数。定义保险公司在终端时刻 T 的期望财富效用为 J(u)≜E[U(w_T )]。

保险公司面临的优化问题是选择可行投资与再保险策略 u，使得 sup┬(u∈Π) J(u)=J(u^* ), Π 为所有可行策略的集合。

保险公司的效用满足如下指数效用函数，即 U(w) = K - D e^(-γw)。

基于上述条件，从 T 开始用倒推法、一阶最优化条件计算保险公司的再保险策略在 t = T-1 时的表达式。

1. 倒推法求解终端期望效用函数 J(u)

J(u) = E[U(w_T)] = E[K - D e^(-γ w_T)] = K - D e^(-γ E[w_T] - (1/2)γ^2 Var[w_T]) = K - D e^(-γ w_0 - γ ∑_{t=0}^{T-1} E[π_t(R_t - r_t)] - (1/2)γ^2 ∑_{t=0}^{T-1} Var[π_t(R_t - r_t)]) = K - D e^(-γ w_0 - γ ∑_{t=0}^{T-1} E[π_t]E[R_t - r_t] - (1/2)γ^2 ∑_{t=0}^{T-1} Var[π_t]Var[R_t - r_t]) = K - D e^(-γ w_0 - γ ∑_{t=0}^{T-1} E[π_t]μ_t - (1/2)γ^2 ∑_{t=0}^{T-1} Var[π_t]σ_t^2)

其中，第二个等号利用了正态分布的性质，第三个等号利用了 R_t 和 π_t 的独立性。

2. 求解 t = T-1 时的最优再保险策略

根据一阶最优化条件，有：

∂J(u) / ∂π_{T-1} = -γD e^(-γ w_0 - γ ∑_{t=0}^{T-1} E[π_t]μ_t - (1/2)γ^2 ∑_{t=0}^{T-1} Var[π_t]σ_t^2) (E[R_{T-1} - r_{T-1}] - γ Var[π_{T-1}]σ_{T-1}^2) = 0

化简可得：

E[R_{T-1} - r_{T-1}] = γ Var[π_{T-1}]σ_{T-1}^2

由于 R_t 服从正态分布，所以 E[R_{T-1} - r_{T-1}] = μ_{T-1} - r_{T-1}，代入上式可得：

Var[π_{T-1}] = (μ_{T-1} - r_{T-1}) / (γ σ_{T-1}^2)

因此，在 t = T-1 时，最优的再保险策略为：

π_{T-1} = (μ_{T-1} - r_{T-1}) / (γ σ_{T-1}^2)