离散有限时间模型下保险公司最优再保险策略的计算方法

根据倒推法，我们先计算出在t=T-1时的最优投资与再保险策略。设在t=T-1时，保险公司的财富为w_{T-1}，投资于风险资产的比例为/u03c0_{T-1}，则有：/n/nJ(u)=E[U(w_T)|/u03c0_{T-1}=u]=(K-D/u200be^{-/u03b3 w_T})P(w_T|u)+(K-D/u200be^{-/u03b3 w_T'})P(w_T'|u)/n/n其中，P(w_T|u)表示在投资于风险资产比例为u时，财富在t=T时为w_T的概率，P(w_T'|u)表示在投资于风险资产比例为u时，财富在t=T时为w_T'的概率。/n/n我们的目标是找到使得J(u)最大的u，即：/n/nu^*=/arg/max_{u/u2208[0,1]}J(u)/n/n根据一阶最优化条件，有：/n/n/u2202J(u)//u2202u=0/n/n即：/n/n-K/u03b3 D/u200be^{-/u03b3 w_T}/u2202w_T//u2202uP(w_T|u)+K/u03b3 D/u200be^{-/u03b3 w_T'}/u2202w_T'//u2202uP(w_T'|u)=0/n/n根据财富过程的定义，有：/n/nw_T=(w_{T-1}-/u03c0_{T-1})r_T+/u03c0_{T-1}R_T+c_T-/u03b4(q_{T-1})-z_T/n/nw_T'=(w_{T-1}-/u03c0_{T-1})r_T+/u03c0_{T-1}R_T+c_T-/u03b4(q_{T-1})/n/n因此，/n/n/u2202w_T//u2202u=R_T-r_T/n/n/u2202w_T'//u2202u=R_T-r_T/n/n代入一阶最优化条件中，有：/n/n-K/u03b3 D/u200be^{-/u03b3 w_T}(R_T-r_T)P(w_T|u)+K/u03b3 D/u200be^{-/u03b3 w_T'}(R_T-r_T)P(w_T'|u)=0/n/n化简得：/n/nP(w_T|u)/u200be^{-/u03b3 w_T}(R_T-r_T)=P(w_T'|u)/u200be^{-/u03b3 w_T'}(R_T-r_T)/n/n由于R_T服从正态分布，因此P(w_T|u)和P(w_T'|u)也是正态分布，且均值和方差分别为：/n/nE[w_T|u]=(1-u)w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-/u03b1_T(1+/u03b8_T)(1-u)/n/nVar[w_T|u]=(1-u)^2w_{T-1}^2/u03c3_T^2u+2(1-u)^2w_{T-1}r_T/u03c3_T^2u+(1-u)^2r_T^2/u03c3_T^2+2(1-u)^2w_{T-1}r_T/u03c3_T^2+(1-u)^2w_{T-1}^2/u03c3_T^2+(1+/u03b8_T)^2/u03b1_T^2(1-u)^2/n/nE[w_T'|u]=(1-u)w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})/n/nVar[w_T'|u]=(1-u)^2w_{T-1}^2/u03c3_T^2u+2(1-u)^2w_{T-1}r_T/u03c3_T^2u+(1-u)^2r_T^2/u03c3_T^2/n/n将均值和方差代入上式，得到：/n/n1//u221a(2/u03c0)/u03c3_T/u200be^{-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-/u03b1_T(1+/u03b8_T)(1-u)-w_T)^2/(2/u03c3_T^2)}(R_T-r_T)=1//u221a(2/u03c0)/u03c3_T/u200be^{-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-w_T')^2/(2/u03c3_T^2)}(R_T-r_T)/n/n化简得：/n/nu/u200be^{-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-/u03b1_T(1+/u03b8_T)(1-u)-w_T)^2/(2/u03c3_T^2)}/(1-u)/u200be^{-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-w_T')^2/(2/u03c3_T^2)}=/u200be^{-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-w_T')^2/(2/u03c3_T^2)}//u200be^{-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-/u03b1_T(1+/u03b8_T)(1-u)-w_T)^2/(2/u03c3_T^2)}/n/n两边取对数，得到：/n/nln(u/(1-u))-(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-/u03b1_T(1+/u03b8_T)(1-u)-w_T)^2/(2/u03c3_T^2)+(w_{T-1}uR_T+(1-u)w_{T-1}r_t+cu-/u03b4(q_{T-1})-w_T')^2/(2/u03c3_T^2)=0/n/n这是一个关于u的一元二次方程，解出u即可得到在t=T-1时的最优投资与再保险策略。/n/n由于该方程难以解析求解，我们可以采用数值方法求解。具体来说，可以采用牛顿迭代法或者拟牛顿法等方法求解该方程的根。