为什么极限limh→0sinx+h-sinxh会等于limh→02sinh2cosx+h2h我要详细的解题步骤

首先，我们可以将lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h展开成lim(h→0)[sinxcosh+cosxsinh-sinx]/h。

接下来，我们可以将sinx提取出来，得到lim(h→0)[sinx*(cosh-1)+cosx*sinh]/h。

然后，我们可以将lim(h→0)[sinx*(cosh-1)]/h和lim(h→0)[cosx*sinh]/h分开计算。

对于lim(h→0)[sinx*(cosh-1)]/h，我们可以将sinx提取出来，得到sinx*lim(h→0)[cosh-1]/h。

由于lim(h→0)[cosh-1]/h的形式不确定，我们可以利用泰勒展开公式近似计算。根据泰勒展开公式，我们有cosh-1 = (1/2)h^2+O(h^4)。将这个近似代入，得到sinxlim(h→0)[(1/2)h^2+O(h^4)]/h = sinx(1/2)lim(h→0)h+O(h^3)/h = sinx(1/2)lim(h→0)1+O(h^2) = sinx(1/2)*1 = sinx/2。

对于lim(h→0)[cosxsinh]/h，我们可以将cosx提取出来，得到cosxlim(h→0)[sinh]/h。

同样，lim(h→0)[sinh]/h的形式不确定，我们可以利用泰勒展开公式近似计算。根据泰勒展开公式，我们有sinh = h+O(h^3)。将这个近似代入，得到cosxlim(h→0)[h+O(h^3)]/h = cosxlim(h→0)1+O(h^2) = cosx。

综上所述，我们得到lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h = sinx/2 + cosx = lim(h→0)[2sin(h/2)cos(x+h/2)]/h