为什么极限limh→0sinx+h-sinxh会等于limh→02sinh2cosx+h2h我要更详细的解答

首先，我们可以把sin(x+h)展开成sinx和cosx的乘积，得到：

sin(x+h) = sinxcos(h) + cosxsin(h)

然后，我们将这个结果代入到极限的表达式中：

lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h = lim(h→0)[sinxcos(h) + cosxsin(h) - sinx]/h

然后，我们将sinx从第二项中提取出来：

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h + cosx*sin(h)/h]

然后，我们将分数cos(h)-1/h拆分成两个部分，得到：

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h + cosx*sin(h)/h]

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h + cosx*(sin(h)/h)]

由于lim(h→0)(sin(h)/h) = 1，我们可以将这个结果代入到极限中：

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h + cosx*(1)]

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h + cosx]

然后，我们将cos(h)-1拆分成两个部分，得到：

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h + cosx]

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h] + lim(h→0)[cosx]

由于lim(h→0)(cos(h)-1)/h = 0，我们可以将这个结果代入到极限中：

= lim(h→0)[sinx*(cos(h)-1)/h] + cosx

= lim(h→0)[sinx*0] + cosx

= 0 + cosx

= cosx

因此，极限lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h等于cosx。

接下来，我们来证明lim(h→0)[2sin(h/2)cos(x+h/2)]/h也等于cosx。

首先，我们可以将分子中的2拆分出来，得到：

lim(h→0)[2sin(h/2)cos(x+h/2)]/h = 2 * lim(h→0)[sin(h/2)cos(x+h/2)]/h

接下来，我们将cos(x+h/2)从第二项中提取出来：

= 2 * lim(h→0)[sin(h/2)*(cos(x)cos(h/2)-sin(x)sin(h/2))]/h

然后，我们将分数cos(x)cos(h/2)-sin(x)sin(h/2)拆分成两个部分，得到：

= 2 * lim(h→0)[sin(h/2)*cos(x)cos(h/2)/h - sin(h/2)*sin(x)sin(h/2)/h]

= 2 * [lim(h→0)[sin(h/2)*cos(h/2)/h] * cos(x) - lim(h→0)[sin(h/2)*sin(h/2)/h] * sin(x)]

由于lim(h→0)[sin(h/2)*cos(h/2)/h] = 1/2，lim(h→0)[sin(h/2)*sin(h/2)/h] = 0，我们可以将这两个结果代入到极限中：

= 2 * (1/2 * cos(x) - 0 * sin(x))

= 2 * (1/2 * cos(x))

= cosx

因此，极限lim(h→0)[2sin(h/2)cos(x+h/2)]/h也等于cosx。

综上所述，极限lim(h→0)[sin(x+h)-sinx]/h等于lim(h→0)[2sin(h/2)cos(x+h/2)]/h，它们都等于cosx