1-x分之x平方求二次导数

要求$(1-x)^{\frac{1}{x^2}}$的二次导数，首先求一次导数。

设$y=(1-x)^{\frac{1}{x^2}}$，则 $$\ln y=\frac{1}{x^2}\ln(1-x)$$ 对上式两边同时求导得： $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2x\ln(1-x)+2x^2}{x^4(1-x)}$$ 整理得： $$\frac{dy}{dx}=\frac{2x^5\ln(1-x)+2x^6}{x^4(1-x)}y$$ 再求一次导数得： $$\frac{d^2y}{dx^2}=\left(\frac{2x^5\ln(1-x)+2x^6}{x^4(1-x)}y\right)'$$ 对上式右侧的分式进行求导得： $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{6x^5(1-x)-2x^6}{x^4(1-x)}y+\frac{2x^5\ln(1-x)+2x^6}{x^4(1-x)}\cdot\frac{dy}{dx}$$ 将$\frac{dy}{dx}$的表达式代入上式，即可得到$(1-x)^{\frac{1}{x^2}}$的二次导数。