qic齐次方程

齐次方程是指形如 $ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+zx^0=0$ 的多项式方程，其中 $a,b,c,\cdots,z$ 均为常数，$n$ 为非负整数。如果 $a=0$，则该方程不是齐次方程。

齐次方程也可以写成 $y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_1(x)y'+p_0(x)y=0$ 的形式，其中 $p_{n-1}(x),\cdots,p_1(x),p_0(x)$ 都是关于 $x$ 的函数。

齐次方程的解有一个性质：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 都是齐次方程的解，那么 $y_1(x)+y_2(x)$ 也是齐次方程的解。这个性质称为齐次方程的叠加原理。

齐次方程的求解方法一般是使用特征方程。对于形如 $y''+py'+qy=0$ 的二阶齐次线性微分方程，特征方程是 $r^2+pr+q=0$，它的根为 $r_1$ 和 $r_2$。如果 $r_1$ 和 $r_2$ 不相等，那么方程的通解为 $y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$；如果 $r_1$ 和 $r_2$ 相等，那么方程的通解为 $y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}$