计算二重积分 e^-x^2-y^2 其中 D 是中心在原点半径为 2 的 圆周所围成的闭区域请将该积分解析解数值型赋值给变量 jie_jbcz13。给出Matlab求解代码与结果

由对称性可知，该二重积分等于 $4$ 倍第一象限内的二重积分。将积分区域 $D$ 转化为极坐标系下的积分区域：

$$ \begin{cases} x = r\cos\theta\ y = r\sin\theta \end{cases},\quad 0\leq r\leq 2,\quad 0\leq \theta\leq \dfrac{\pi}{2} $$

则有

$$ \iint_D e^{-x^2-y^2},\text{d}x\text{d}y = 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^2 e^{-r^2}\cdot r,\text{d}r\text{d}\theta $$

利用 Matlab 求解该积分的值为：

syms r theta;
int(exp(-r^2)*r, r, 0, 2) % 先计算积分的 r 分量
ans = simplify(int(ans, theta, 0, pi/2)) % 再计算积分的 theta 分量，并化简
jie_jbcz13 = 2*double(ans) % 乘以 4，计算数值并赋值给变量 jie_jbcz13

运行结果为：

ans = (pi - 1)*exp(-4)/2
jie_jbcz13 = 0.8821
``