设抛物线的焦点为F点过F的直线交C于MN两点．当直线MD垂直于x轴时．1求C的方程；2设直线与C的另一个交点分别为AB记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时求直线AB的方程．

（1）由抛物线的性质可知，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线的准线的距离，因此有 $CF=\frac{1}{4p}CM^2$，其中$p$为抛物线的参数，即焦点到准线的距离，$p>0$表示抛物线开口朝上，$p<0$表示抛物线开口朝下。又因为$N$点在抛物线上，所以$CN=\frac{1}{4p}CM^2$。因此，由勾股定理可得$MN^2=CM^2-CN^2=\frac{3}{4p}CM^2$。又因为$MD$垂直于$x$轴，所以$MN$的斜率为$-\frac{1}{p}$。设$C$点坐标为$(x_0,y_0)$，则$M$点坐标为$(x_0,-\frac{1}{p}x_0+y_0)$，$N$点坐标为$(\frac{1}{2}(x_0+x_1),\frac{1}{4p}(x_0-x_1)^2+y_0)$，其中$x_1$为抛物线的$x$轴交点。代入$MN$的斜率可得$$-\frac{1}{p}=\frac{\frac{1}{4p}(x_0-x_1)^2+y_0+\frac{1}{p}x_0-y_0}{\frac{1}{2}(x_0+x_1)-x_0}=\frac{(x_0-x_1)^2}{2p(x_0+x_1-2x_0)}=\frac{(x_0-x_1)^2}{-2px_1}$$化简得$$p=\frac{(x_0-x_1)^3}{2MN^2x_1}$$因为$N$点在抛物线上，所以有$$y_0=\frac{1}{4p}(x_0-x_1)^2=\frac{MN^2x_1}{8(x_0-x_1)^2}$$因此，$C$点的坐标为$$C\left(x_0,\frac{MN^2x_1}{8(x_0-x_1)^2}\right)$$故$C$的方程为$$y=\frac{MN^2x_1}{8(x-x_1)^2}$$（2）设直线的倾斜角为$\alpha$，则直线的斜率为$k=\tan\alpha$。由题意可知，直线经过点$M$和$N$，因此有$$-\frac{1}{p}=k=\frac{\frac{1}{4p}(x_0-x_1)^2+y_0+\frac{1}{p}x_0-y_0}{x_0-x_1}=\frac{(x_0-x_1)^2}{4px_1}$$化简得$$p=-\frac{(x_0-x_1)^3}{4MN^2x_1}$$又因为直线经过点$F$，所以有$$k=\tan\alpha=\frac{MF}{CF}=\frac{MF}{\frac{1}{4p}CM^2}=\frac{2pMF}{CM^2}$$因此，$$MF=\frac{kCM^2}{2p}=-\frac{k}{8}MN^2$$又因为$N$点在抛物线上，所以有$$MF=-\frac{1}{4p}(x_0-x_1)^2$$将$p$和$MF$的表达式代入可得$$\frac{(x_0-x_1)^3}{4MN^2x_1}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{(x_0-x_1)^2}{p}$$化简得$$px_1=-\frac{1}{4}(x_0-x_1)$$因此，$x_1=\frac{x_0}{5}$。由于$\alpha$取得最大值时，直线与抛物线的交点$A$和$B$在抛物线的两个端点处，故可设直线方程为$$y-kx=d$$其中$d$为待定常数。将直线与抛物线的交点带入直线方程可得$$y_0-kx_0=d$$以$x_0$为自变量，$k$为参数，将$C$点的纵坐标代入得到关于$x_0$和$k$的方程$$\frac{MN^2x_1}{8(x_0-x_1)^2}-kx_0=d$$化简得$$k=\frac{MN^2x_1}{8(x_0-x_1)^2x_0}-\frac{d}{x_0}$$将$k$的表达式代入直线方程得到$$y-\frac{MN^2x_1}{8(x-x_1)^2}=\frac{MN^2x_1}{8(x_0-x_1)^2x_0}(x-x_0)-d$$因为直线与抛物线的交点$A$和$B$在抛物线的两个端点处，所以$A$和$B$的横坐标分别为$0$和$\frac{2x_1}{3}$。将这两个点带入上式可得$$\begin{cases}y=-\frac{MN^2x_1}{8x_0}x+d&x\in[0,x_1]\y=-\frac{3MN^2}{16x_1}(x-\frac{2x_1}{3})+d&x\in[x_1,\frac{2x_1}{3}]\end{cases}$$因此，直线$AB$的方程为$$y=-\frac{MN^2x_1}{8x}+\frac{3MN^2}{4}-\frac{3MN^2}{8x_1}$