证明x的根号三次方是一致连续的

要证明$x$的$\sqrt[3]{x}$是一致连续的，我们需要证明对于任意的$\epsilon>0$，存在一个$\delta>0$，使得当$|x_1-x_2|<\delta$时，$|\sqrt[3]{x_1}-\sqrt[3]{x_2}|<\epsilon$。

首先，我们有$(\sqrt[3]{x_1}-\sqrt[3]{x_2})(\sqrt[3]{x_1^2}+\sqrt[3]{x_1x_2}+\sqrt[3]{x_2^2})=\sqrt[3]{x_1^3}-\sqrt[3]{x_2^3}=x_1-x_2$。注意到$\sqrt[3]{x_1^2}+\sqrt[3]{x_1x_2}+\sqrt[3]{x_2^2}$是一个有界函数，可以用一个常数$M$表示。所以我们有$|\sqrt[3]{x_1}-\sqrt[3]{x_2}|=\frac{|x_1-x_2|}{|\sqrt[3]{x_1^2}+\sqrt[3]{x_1x_2}+\sqrt[3]{x_2^2}|}<\frac{|x_1-x_2|}{M}$。

现在我们可以选择一个$\delta=\epsilon M$，那么当$|x_1-x_2|<\delta$时，$|\sqrt[3]{x_1}-\sqrt[3]{x_2}|<\frac{|x_1-x_2|}{M}<\epsilon$。所以$x$的$\sqrt[3]{x}$是一致连续的