利用容斥原理确定方程x1+x2+x3+x4=17的整数解的个数其中xii=1 2 3 4是非负整数并满足条件x1≤3、x2≤4、x3≤5、x4≤8。10分

首先不考虑限制条件，根据组合数学的知识，方程$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$的非负整数解的个数为$\binom{17+4-1}{4-1}=\binom{20}{3}=1140$。

然后考虑限制条件。设$A_{i}$表示$x_{i}>3$的情况，$B_{i}$表示$x_{i}>4$的情况，$C_{i}$表示$x_{i}>5$的情况，$D_{i}$表示$x_{i}>8$的情况。根据容斥原理，我们要求的就是满足条件$x_{1}\leq 3,x_{2}\leq 4,x_{3}\leq 5,x_{4}\leq 8$的非负整数解的个数，即$S=\overline{A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}}\cap\overline{B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}}\cap\overline{C_{1}C_{2}C_{3}C_{4}}\cap\overline{D_{1}D_{2}D_{3}D_{4}}$。

根据容斥原理，$S$的大小可以表示为：

$$ \begin{aligned} |S|&=|U|-\sum_{i=1}^{4}|A_{i}|+\sum_{i<j}|A_{i}A_{j}|-\sum_{i<j<k}|A_{i}A_{j}A_{k}|+|A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}|\ &-\sum_{i=1}^{4}|B_{i}|+\sum_{i<j}|B_{i}B_{j}|-\sum_{i<j<k}|B_{i}B_{j}B_{k}|+|B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}|\ &-\sum_{i=1}^{4}|C_{i}|+\sum_{i<j}|C_{i}C_{j}|-\sum_{i<j<k}|C_{i}C_{j}C_{k}|+|C_{1}C_{2}C_{3}C_{4}|\ &-\sum_{i=1}^{4}|D_{i}|+\sum_{i<j}|D_{i}D_{j}|-\sum_{i<j<k}|D_{i}D_{j}D_{k}|+|D_{1}D_{2}D_{3}D_{4}| \end{aligned} $$

其中$U$表示所有非负整数解的集合。我们已经知道$|U|=1140$。

对于$|A_{i}|$，要求$x_{i}>3$，相当于将$x_{i}$减去$4$，然后将剩下的$17-4\times 4=1$分配给$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，得到$\binom{1+4-1}{4-1}=\binom{4}{3}=4$种分配方案，因此$|A_{i}|=4$。同理，$|B_{i}|=\binom{5}{3}=10$，$|C_{i}|=\binom{6}{3}=20$，$|D_{i}|=\binom{9}{3}=84$。

对于$|A_{i}A_{j}|$，要求$x_{i}>3$且$x_{j}>3$，相当于将$x_{i}$和$x_{j}$分别减去$4$，然后将剩下的$17-2\times 4=9$分配给$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，得到$\binom{9+4-1}{4-1}=\binom{12}{3}=220$种分配方案，因此$|A_{i}A_{j}|=220$。同理，$|B_{i}B_{j}|=\binom{6}{3}=20$，$|C_{i}C_{j}|=\binom{7}{3}=35$，$|D_{i}D_{j}|=\binom{10}{3}=120$。

对于$|A_{i}A_{j}A_{k}|$，要求$x_{i}>3$且$x_{j}>3$且$x_{k}>3$，相当于将$x_{i}$、$x_{j}$和$x_{k}$分别减去$4$，然后将剩下的$17-3\times 4=5$分配给$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$，得到$\binom{5+4-1}{4-1}=\binom{8}{3}=56$种分配方案，因此$|A_{i}A_{j}A_{k}|=56$。同理，$|B_{i}B_{j}B_{k}|=0$，$|C_{i}C_{j}C_{k}|=\binom{8}{3}=56$，$|D_{i}D_{j}D_{k}|=0$。

最后，$|A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}|=0$，因为$x_{1}\leq 3$且$x_{2}\leq 4$且$x_{3}\leq 5$且$x_{4}\leq 8$不可能同时成立。

将以上结果代入$|S|$的式子中，得到：

$$ \begin{aligned} |S|&=1140-4\times 4+6\times 220-4\times 56-10\times 20+3\times 35+20\times 56-4\times 84\ &=1140-16+1320-224-200+105+1120-336\ &=2789 \end{aligned} $$

因此，方程$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$的整数解的个数为$2789$