已知离散LTI系统激励fk=3kuk单位脉冲响应hk=2kuk画出该系统的零状态响应yzsk在有限区间的波形。有限区间自行设定

根据卷积的定义，零状态响应为：

$$ y_{zs}(k)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(n)h(k-n) $$

代入激励和单位脉冲响应的表达式：

$$ \begin{aligned} y_{zs}(k)&=\sum_{n=0}^{k}3n\cdot 2(k-n) \ &=6\sum_{n=0}^{k}n(k-n) \ &=6k\sum_{n=0}^{k}n-6\sum_{n=0}^{k}n^2 \ &=6k\cdot\frac{k(k+1)}{2}-6\cdot\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \ &=3k^3+3k^2+k \end{aligned} $$

因此，该系统的零状态响应在有限区间的波形为一个三次函数，随着时间不断增加而增加，其波形如下图所示：