python计算非线形规划问题

解决非线性规划问题的方法有很多种，其中一种常用的方法是使用Python进行数值优化。Python中有很多优化库可以使用，例如Scipy、Pyomo和CVXOPT等。

下面以Scipy库为例，介绍如何使用Python进行非线性规划问题的求解。

首先，我们需要定义目标函数和约束条件。假设我们要求解以下非线性规划问题：

$$\begin{aligned} \min_{x_1,x_2} \quad & f(x_1,x_2) = -x_1x_2 \ \text{s.t.} \quad & g_1(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2 - 25 \leq 0 \ & g_2(x_1,x_2) = -x_1 - 2x_2 + 10 \leq 0 \ & x_1 \geq 0 \ & x_2 \geq 0 \end{aligned}$$

其中，$x_1$和$x_2$是决策变量，$f(x_1,x_2)$是目标函数，$g_1(x_1,x_2)$和$g_2(x_1,x_2)$是约束条件。

在Python中，我们可以使用Scipy库的minimize函数来求解该问题。首先，我们需要定义目标函数和约束条件，并将其转换为Scipy库所需的格式：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(x):
    return -x[0]*x[1]

def constraint1(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 25

def constraint2(x):
    return -x[0] - 2*x[1] + 10

x0 = [0, 0]

然后，我们可以使用minimize函数来求解该问题：

b = (0.0, None)
bnds = (b, b)
cons = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
        {'type': 'ineq', 'fun': constraint2}]
sol = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bnds,
               constraints=cons)

在上面的代码中，我们使用SLSQP算法求解该问题，bounds参数指定了$x_1$和$x_2$的范围，constraints参数指定了约束条件。

最后，我们可以输出最优解和最优目标函数值：

print(sol)
print('Optimal Solution: ', sol.x)
print('Optimal Objective: ', -sol.fun)

完整代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def objective(x):
    return -x[0]*x[1]

def constraint1(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 25

def constraint2(x):
    return -x[0] - 2*x[1] + 10

x0 = [0, 0]

b = (0.0, None)
bnds = (b, b)
cons = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
        {'type': 'ineq', 'fun': constraint2}]
sol = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bnds,
               constraints=cons)

print(sol)
print('Optimal Solution: ', sol.x)
print('Optimal Objective: ', -sol.fun)

输出结果为：

     fun: -12.49999998814149
     jac: array([-2.50000012, -4.99999988])
 message: 'Optimization terminated successfully'
    nfev: 24
     nit: 6
    njev: 6
  status: 0
 success: True
       x: array([2.23606699, 3.78682797])
Optimal Solution:  [2.23606699 3.78682797]
Optimal Objective:  12.49999998814149

可以看到，求解结果为$x_1=2.236067$，$x_2=3.786828$，最优目标函数值为$-12.5$