匈牙利算法：解决二分图最大匹配问题的利器

匈牙利算法：解决二分图最大匹配问题的利器

在图论中，二分图最大匹配问题是一个经典问题，它旨在找到二分图中最大数量的边，使得任意两条边没有公共顶点。匈牙利算法作为一种高效的解决方案，被广泛应用于解决该问题。

匈牙利算法原理

匈牙利算法的核心思想是不断寻找增广路径。增广路径是指一条连接两个未匹配顶点的路径，并且路径上的边交替出现在匹配和非匹配集合中。通过不断寻找增广路径并反转路径上边的匹配状态，可以逐步增加匹配的边数，直到找到最大匹配。

算法步骤

1. 初始化: 创建一个数组 match，用于存储每个右部节点匹配的左部节点，初始值为 -1 表示未匹配。2. 遍历左部节点: 对于每个左部节点 i，执行以下操作： - 尝试将其与所有相邻的未匹配右部节点 j 进行匹配。 - 如果 j 未匹配，则直接将 i 和 j 匹配。 - 如果 j 已匹配，则尝试将 j 当前匹配的左部节点 k 与其他未匹配的右部节点进行匹配。如果 k 可以匹配成功，则将 i 和 j 匹配，否则继续尝试下一个右部节点。3. 重复步骤2: 直到无法找到增广路径为止。4. 统计匹配数量: 遍历 match 数组，统计非 -1 的元素个数，即为二分图的最大匹配数。

时间复杂度

匈牙利算法的时间复杂度为 O(nm)，其中 n 和 m 分别表示左部节点和右部节点的数量。

总结

匈牙利算法提供了一种有效的方法来解决二分图最大匹配问题。它的实现相对简单，并且在许多实际应用中都表现出良好的性能。如果您需要解决类似的匹配问题，匈牙利算法绝对是一个值得考虑的选择。