arctanx的麦克劳林公式

arctanx是反正切函数，可以表示为y=arctanx。根据反正切函数的定义，我们知道x=tan y。因此，我们可以将y表示为x的函数，即y=f(x)，然后对f(x)进行麦克劳林展开，即可得到arctanx的麦克劳林公式。

首先，我们需要求出f(x)的导数。根据反正切函数的导数公式，有：

f'(x) = 1 / (1 + x^2)

然后，我们需要求出f(x)在x=0处的各阶导数。有：

f(0) = 0

f'(0) = 1

f''(0) = 0

f'''(0) = -2!

f''''(0) = 0

f'''''(0) = 16!

......

可以发现，f(x)的奇数阶导数在x=0处为0，偶数阶导数在x=0处为(-1)^(k/2) * (2^(k-1)-1)(k为偶数)。因此，f(x)的麦克劳林展开式为：

f(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

将f(x)代入y=arctanx中，得到：

arctanx = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

这就是arctanx的麦克劳林公式。

需要注意的是，由于反正切函数的定义域为(-∞, ∞)，因此这个公式只在x的取值范围内成立。当x超出这个范围时，需要使用反正切函数的周期性进行调整。