冲激函数之和的傅里叶级数

设$f(x)$为冲激函数之和，即：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(x-nT)$$

其中，$T$为周期，$\delta(x)$为冲激函数，$a_n$为系数。

根据傅里叶级数的公式，可以得到$f(x)$的傅里叶级数为：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(x-nT) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{-j2\pi nk/T}\delta(x-nT)$$

将$\delta(x)$的定义代入上式，得到：

$$f(x) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{-j2\pi nk/T}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega(x-nT)}d\omega$$

交换求和与积分的顺序，得到：

$$f(x) = \frac{1}{2\pi T}\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{-j2\pi n(k-T\omega)/T}e^{j\omega x}d\omega$$

注意到$\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{-j2\pi n(k-T\omega)/T}$是以$T$为周期的函数，因此可以用狄利克雷核表示为：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{-j2\pi n(k-T\omega)/T} = \frac{T}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_m\delta(k-T\omega-m)$$

其中，$c_m$为$a_n$的傅里叶系数。将上式代入原式，得到：

$$f(x) = \frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_m\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega(x-mT)}\delta(k-T\omega-m)d\omega$$

注意到$\delta(k-T\omega-m)$只在$\omega=\frac{k-m}{T}$时不为零，因此可以将其代入得到：

$$f(x) = \frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}c_me^{j\frac{2\pi}{T}(x-mT)}$$

这就是$f(x)$的傅里叶级数