给出自旋态和一个方向的时候如何测自旋沿x正方形和负方向的几率

假设自旋态为$\vert\psi\rangle$，其中包含了自旋向上和向下的叠加，即$\vert\psi\rangle=a\vert\uparrow\rangle+b\vert\downarrow\rangle$，且满足归一化条件$a^2+b^2=1$。

在$x$方向上进行测量，测量算符为$\hat{S}_x=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix}$，其本征态为$\vert\pm\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert\uparrow\rangle\pm\vert\downarrow\rangle\right)$，对应的本征值为$\pm\frac{\hbar}{2}$。

测量结果为自旋处于$\vert+\rangle$的概率为$P_+=\vert\langle+\vert\psi\rangle\vert^2$，自旋处于$\vert-\rangle$的概率为$P_-=\vert\langle-\vert\psi\rangle\vert^2$。

以自旋向上为例，即$a=1,b=0$，则$\vert\psi\rangle=\vert\uparrow\rangle$，测量结果为自旋处于$\vert+\rangle$的概率为$P_+=\vert\langle+\vert\uparrow\rangle\vert^2=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2=\frac{1}{2}$，自旋处于$\vert-\rangle$的概率为$P_-=\vert\langle-\vert\uparrow\rangle\vert^2=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2=\frac{1}{2}$。

同理，对于自旋向下的情况，即$a=0,b=1$，则$\vert\psi\rangle=\vert\downarrow\rangle$，测量结果为自旋处于$\vert+\rangle$的概率为$P_+=\frac{1}{2}$，自旋处于$\vert-\rangle$的概率为$P_-=\frac{1}{2}$。

综上所述，无论自旋向上还是向下，沿$x$方向的测量结果都有相等的几率，即测量结果为自旋处于$\vert+\rangle$的概率和自旋处于$\vert-\rangle$的概率均为$\frac{1}{2}$。