计算极限 x^2+x/sin(4x) 当 x 趋向于 0 时的值

为了计算极限 x^2+x/sin(4x) 当 x 趋向于 0 时的值，我们可以利用极限的性质和运算法则进行化简。

步骤一：分解

首先，将极限中的分子和分母进行分解，将 x^2 和 x 分别除以 sin(4x)：

lim(x→0) (x^2/sin(4x) + x/sin(4x))

步骤二：应用极限性质

接下来，利用极限的性质分别处理每个分式的部分。

对于第一个分式 x^2/sin(4x)，我们可以使用固定的极限公式 lim(x→0) x/sin(x) = 1 来进行替换。需要注意的是，我们需要对公式进行简单的变形才能运用到当前的式子中。

将原公式中的x替换为4x，得到lim(x→0) 4x/sin(4x) = 1，进一步化简可以得到lim(x→0) x/sin(4x) = 1/4。

因此，我们可以将原式化简为：

lim(x→0) (x^2/sin(4x) + x/sin(4x)) = lim(x→0) ( x/sin(4x) + x/sin(4x) ) = 2lim(x→0) ( x/sin(4x) )

步骤三：再次应用极限性质

现在，我们可以再次应用极限性质和公式对 x/sin(4x) 进行简化。根据步骤二推导出的公式，我们可以直接将 x/sin(4x) 替换为 1/4。

2lim(x→0) ( x/sin(4x) ) = 2(1/4) = 1/2

结论

通过上述步骤，我们成功计算出当 x 趋向于 0 时，极限 x^2+x/sin(4x) 的值为 1/2。