证明最小多项式的存在性和唯一性

设 $L$ 是域 $F$ 的一个扩域，$a\in L$。

首先证明最小多项式存在性：

假设存在一个多项式 $f(x)$ 使得 $f(a)=0$，则可以用 $f(x)$ 的系数构造一个域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 的一个理想 $I$，使得 $f(x)\in I$。显然 $I$ 非零，因为 $f(x)\neq0$，且 $F[x]$ 是一个 Euclid 环，因此 $I$ 中必定存在一个次数最小的多项式 $g(x)$，使得 $g(x)$ 是 $I$ 的一个生成元。

由于 $g(x)$ 是 $I$ 的生成元，因此 $g(a)=0$，而且 $g(x)$ 的次数最小。因此 $g(x)$ 就是 $a$ 在 $F$ 上的最小多项式。

接下来证明最小多项式的唯一性：

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是 $a$ 在 $F$ 上的最小多项式，假设 $f(x)\neq g(x)$，则可以构造一个多项式 $h(x)=f(x)-g(x)$。由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是 $a$ 的零点，因此 $h(a)=0$。

如果 $h(x)$ 的次数为 $0$，则 $h(x)$ 是一个常数多项式，此时 $f(x)=g(x)$，与假设矛盾。

如果 $h(x)$ 的次数不为 $0$，则由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是 $a$ 的最小多项式，因此 $h(x)$ 的次数必然大于等于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的次数。这与 $h(x)$ 的次数小于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的次数矛盾。

因此，假设不成立，得证最小多项式的唯一性。