1 PRELIMINARIES I shall begin by describing the classification of pairs 3 using a simplify- ing assumption valid in Friedland’s case Let K be a field charK # 2 Let A and B be symmetric bilinear forms

在本文的开始，我将利用 Friedland 的假设来描述对成对 [3] 的分类。假设 K 是一个特征不为 2 的域，A 和 B 是定义在 K-向量空间 V 上的对称双线性形式。假定 B 是非奇异的，那么存在唯一的线性映射 S : V + V，使得恒等式 A(x, y) = B(Sx, y) 成立；如果我们在一个固定的基下将形式表示为矩阵，则有 S = B-IA。因此，对称对 (A, B) 的分类等价于对 (S, B) 的分类，其中 B(Sx, y) = B(x, Sy)。很容易看出，S 将 V 分解为互不重叠的主分量，这些主分量对于 B 自动成为正交的，因此我们可以通过对它们的限制来对成对进行分类。

现在我们做出简化假设，即 S 的最小多项式是可分的（即与它的导数互质）。在 Friedland 的情况下，这是成立的，因为 A 在实数上是可对角化的。这使得我们能够简化 [3] 中的处理过程，因为我们现在只需要在那些 S 的最小多项式是可分的不可约表示上对成对 (S, B) 进行分类，其中 B 是双线性的且满足 B(Sx, y) = B(x, Sy)。S 对 W 的作用使得 W 成为一个定义在可分扩域 L = K[S] 上的向量空间。

在这个设置下，我们有以下熟知的结果 [1, p. 142; 5, p. 229]。