求1cosx+sinxdx的积分

令t=tan(x/2)，则有cos(x)=1-t^2/(1+t^2)，sin(x)=2t/(1+t^2)，dx=2dt/(1+t^2)。

将cos(x)和sin(x)用t表示后，原式可化为：

∫1/(cos(x)+sin(x))dx = ∫(1+t^2)/(1+t^2-2t+2t^2)dt

接着，将分母化简：

1+t^2-2t+2t^2 = (t-1)^2 + (t+1)^2

所以，原式变为：

∫(1+t^2)/[(t-1)^2+(t+1)^2]dt

接下来，进行部分分式分解：

(1+t^2)/[(t-1)^2+(t+1)^2] = A/(t-1)^2 + B/(t+1)^2

求得A=B=1/2。

因此，原式变为：

∫[1/(2(t-1)^2) + 1/(2(t+1)^2)]dt

利用积分公式，得到：

∫1/(2(t-1)^2)dt = -1/(t-1)

∫1/(2(t+1)^2)dt = 1/(t+1)

所以，原式为：

-1/(t-1) + 1/(t+1) + C

代入t=tan(x/2)，得到最终答案：

-1/(tan(x/2)-1) + 1/(tan(x/2)+1) + C