给我一道高考导数大题

已知函数 $y=\frac{1}{2} x^{2}+2 x-3$ , 求它在 $x=1$ 处的导数 $y'$ 和二阶导数 $y''$ .

解析：

首先求一阶导数 $y'$ :

$$\begin{aligned} y' &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{1}{2} x^{2}+2 x-3\right) \ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{1}{2} x^{2}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} 2 x-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} 3 \ &=x+2 \end{aligned}$$

然后求二阶导数 $y''$ :

$$\begin{aligned} y'' &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(x+2\right) \ &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} 2 \ &=1 \end{aligned}$$

所以，函数 $y=\frac{1}{2} x^{2}+2 x-3$ 在 $x=1$ 处的导数 $y'$ 为 $3$ ，二阶导数 $y''$ 为 $1$ 。