刚体摆的运动方程推导及固有频率计算

刚体摆的运动方程推导及固有频率计算

问题描述

考虑一个悬挂在o点的刚体摆，它被限制在xy平面内自由运动。杆的长度为L，质量为m，质量均匀分布。忽略杆的宽度。从y轴测量到的钟摆中心线的角位移用θ(t)表示。

(a) 推导控制θ(t)的运动方程。

(b) 线性化小θ的运动方程。

(c) 确定小振荡的固有频率。

解答

(a) 运动方程推导

为了推导控制θ(t)的运动方程，我们可以应用牛顿第二定律和角位移的定义。

1. 力矩分析: - 杆上距离悬挂点 l 处的质量微元受到的重力矩为：dM = -g * dm * l * sin(θ(t))。 - 整个杆的重力矩为：M = ∫dM = -g * ∫(m/L * dl) * l * sin(θ(t)) = -(mgL/2) * sin(θ(t)).2. 角动量定理: - 杆对悬挂点的角动量为：L = I * dθ(t)/dt，其中 I = (1/3)mL^2 为杆对悬挂点的转动惯量。 - 角动量定理表明：dL/dt = M。3. 运动方程: - 将力矩和角动量表达式代入角动量定理，得到：(1/3)mL^2 * d^2θ(t)/dt^2 = -(mgL/2) * sin(θ(t)). - 化简得到控制θ(t)的运动方程： d^2θ(t)/dt^2 + (3g/2L) * sin(θ(t)) = 0.

(b) 小角度线性化

当θ(t)很小时，sin(θ(t)) ≈ θ(t). 将运动方程线性化，得到：d^2θ(t)/dt^2 + (3g/2L) * θ(t) = 0.

(c) 固有频率

线性化的运动方程是一个标准的简谐振动方程，其固有频率为：ω = sqrt(3g/2L).

总结

本文推导了刚体摆的运动方程，并针对小角度摆动进行了线性化处理，得到了其固有频率的表达式。