MATLAB复化Simpson公式计算积分示例：精度分析与代码实现

以下是使用复化Simpson公式计算给定积分的近似值，并进行计算精度比较的MATLAB代码：

% 定义被积函数
f = @(x) 3*log(x);

% 积分区间
a = 1;
b = 2;

% 计算精度
desired_error = 1e-5;

% 理论分析：复化Simpson公式的误差估计为O(h^4)，其中h为小区间的宽度。
% 为了达到desired_error的计算精度，我们可以使用下面的公式计算小区间的数量n：
% n = sqrt((b - a)^5 * max(abs(f''''(x)))) / (180 * desired_error)

% 计算小区间的数量n
max_second_derivative = max(abs(-6./(x.^2)));
n = sqrt(((b - a)^5 * max_second_derivative) / (180 * desired_error));
n = ceil(n); % 向上取整

% 计算小区间的宽度
h = (b - a) / n;

% 计算近似积分值
x_vals = a:h:b;
approximation = (h/3) * (f(a) + 4*sum(f((x_vals(2:2:end-1)))) + 2*sum(f((x_vals(3:2:end-2)))) + f(b));

% 计算积分的准确值
exact_value = integral(f, a, b);

% 计算误差
error = abs(approximation - exact_value);

% 输出结果
disp('计算结果：');
disp('近似积分值：');
disp(approximation);
disp('计算精度：');
disp(error);

% 输出准确值
disp('准确值：');
disp(exact_value);

解释说明：

• 在 MATLAB 中，我们可以使用复化Simpson公式计算给定积分的近似值，并与准确值进行比较。
• 上述代码中，我们首先定义了被积函数 f。
• 然后，我们给定积分区间的上下限 a 和 b。
• 根据理论分析，我们可以使用公式计算小区间的数量 n，以达到所要求的计算精度。
• 我们计算小区间的宽度 h。
• 使用复化Simpson公式计算近似积分值。
• 使用MATLAB的integral函数计算积分的准确值。
• 计算近似值与准确值之间的误差。
• 最后，输出近似积分值、计算精度和准确值。