复数对数的计算：Ln(-1-i)详解

要计算'ln(-1-i)'，我们可以将复数'-1-i'写成极坐标形式。设'-1-i'=r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。我们可以通过求解r和θ来得到'-1-i'的极坐标形式。

首先计算模长r： $$r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$$

然后计算辐角θ： $$\tan\theta=\frac{-1}{-1}=1$$ $$\theta=\frac{\pi}{4}$$

现在我们有'-1-i'=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4})。根据欧拉公式，e^iθ=cosθ+isinθ，我们可以将其表示为'-1-i'=\sqrt{2}e^i\frac{\pi}{4}。

然后，我们可以使用对数的性质'ln(ab)=ln a+ln b'来计算'ln(-1-i)'： $$ln(-1-i)=ln(\sqrt{2}e^i\frac{\pi}{4})=ln\sqrt{2}+ln e^i\frac{\pi}{4}$$

由于'ln\sqrt{2}'是一个实数，我们只需要计算'ln e^i\frac{\pi}{4}'。根据对数的性质'ln e^iθ=iθ'，我们有： $$ln e^i\frac{\pi}{4}=i\frac{\pi}{4}$$

因此，'ln(-1-i)=ln\sqrt{2}+ln e^i\frac{\pi}{4}=ln\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}'。

所以，'ln(-1-i)=ln\sqrt{2}+i\frac{\pi}{4}'.