信用评分卡组合优化问题：基于 QUBO 模型的量子算法求解

信用评分卡组合优化问题：基于 QUBO 模型的量子算法求解/n/n在银行信用卡或相关的贷款等业务中，对客户授信之前，需要先通过各种审核规则对客户的信用等级进行评定，通过评定后的客户才能获得信用或贷款资格。规则审核过程实际是经过一重或者多重组合规则后对客户进行打分，这些规则就被称为信用评分卡，每个信用评分卡又有多种阈值设置(但且只有一个阈值生效)，这就使得不同的信用评分卡在不同的阈值下，对应不同的通过率和坏账率，一般通过率越高，坏账率也会越高，反之，通过率越低，坏账率也越低。/n/n对银行来说，通过率越高，通过贷款资格审核的客户数量就越多，相应的银行获得的利息收入就会越多，但高通过率一般对应着高坏账率，而坏账意味着资金的损失风险，因此银行最终的收入可以定义为：/n/n最终收入 = 贷款利息收入 － 坏账损失/n/n下表举例 3 个不同的信用评分卡，可以看到每种信用评分卡有 10 个阈值，每种阈值对应不同的坏账率和通过率：/n/n| 信用评分卡 1 | 信用评分卡 2 | 信用评分卡 3 | /n|---|---|---| /n| 阈值 | 通过率 | 坏账率 | 阈值 | 通过率 | 坏账率 | 阈值 | 通过率 | 坏账率 |/n| 1 | 5% | 0.50% | 1 | 5% | 0.50% | 1 | 5% | 0.50% |/n| 2 | 10% | 1.00% | 2 | 10% | 1.00% | 2 | 10% | 1.00% |/n| 3 | 25% | 1.50% | 3 | 25% | 1.50% | 3 | 20% | 1.70% |/n| 4 | 30% | 2.00% | 4 | 30% | 2.00% | 4 | 33% | 2.00% |/n| 5 | 40% | 2.50% | 5 | 45% | 2.50% | 5 | 40% | 2.70% |/n| 6 | 50% | 3.00% | 6 | 50% | 2.70% | 6 | 52% | 3.00% |/n| 7 | 60% | 3.50% | 7 | 65% | 3.50% | 7 | 62% | 3.70% |/n| 8 | 70% | 4.00% | 8 | 70% | 4.00% | 8 | 73% | 4.00% |/n| 9 | 80% | 4.50% | 9 | 82% | 4.70% | 9 | 82% | 4.70% |/n| 10 | 93% | 5.00% | 10 | 90% | 5.00% | 10 | 95% | 5.00% |/n/n赛题说明 1：流程简化及示例/n/n由于银行场景的复杂性，往往需要采用选择多个不同的信用评分卡进行组合来实现最佳的风险控制策略。而实际中的信用评分卡组合是一个非常复杂的过程，为便于建模，我们将该问题进行做如下简化(本简化只适用于本次比赛赛题，不能完全代表实际场景)。/n/n假设贷款资金为 1000000 元，银行贷款利息收入率为 8%，并以上面列举的三个信用评分卡作为选定的信用评分卡组合来测算银行最终收入。/n/n由于每一信用评分卡有且只可选择 1 个阈值，假设信用评分卡 1 的阈值设置为 8，则通过表格可知，对应通过率为 70%，坏账率为 4.00%，信用评分卡 2 的阈值设置为 6，则通过率为 50%，坏账率为 2.70%，信用评分卡 3 的阈值设置为 7，则通过率为 62%，坏账率为 3.70%。/n/n例如如果我们选择三重信用卡组合策略，那么这三种信用评分卡组合后的总通过率为所有信用评分卡通过率相乘，即：/n/n0.7×0.5×0.62 = 0.217/n/n总坏账率为三种信用评分卡对应坏账率的平均值，即：/n/n1/3×(0.04+0.027+0.037) = 0.0367/n/n基于以上条件可求得，本次贷款利息收入为：/n/n贷款资金×利息收入率×总通过率× (1－总坏账率)，即：/n/n1000000×0.08×(0.7×0.5×0.62) ×(1－1/3×(0.04+0.027+0.037)) = 16758.18(元)/n/n由坏账带来的坏账损失为：/n/n贷款资金×总通过率×总坏账率，即：/n/n1000000×(0.7×0.5×0.62) ×(1/3×(0.04+0.027+0.037))=7522.666(元)/n/n那么银行的最终收入为：/n/n贷款利息收入－坏账损失，即/n/n16758.18－7522.666 = 9235.514 (元)/n/n由此可见，选择不同的信用评分卡，不同的阈值组合，会给银行带来不同的收入与损失，由此决定银行最终收入。因此，银行的目标是选择最合理的信用评分卡组合以及其阈值，使得银行最终收入最多。/n/n赛题说明 2 ：QUBO 模型简介/n/nQUBO 模型是指二次无约束二值优化(Quadratic Unconstrained Binary Optimization)模型，它是一种用于解决组合优化问题的数学模型。在QUBO 模型中，需要将问题转化为一个决策变量为二值变量，目标函数是一个二次函数形式优化模型。/n/nQUBO 模型可以运行在量子计算机硬件上，通过量子计算机进行毫秒级的加速求解。这种模型和加速方式在未来各行业中将得到广泛的实际应用。因此现阶段研究基于 QUBO 模型的量子专用算法十分有应用价值。例如典型的图着色、旅行商问题、车辆路径优化问题等，都可以转化为 QUBO 模型并借助于量子计算机求解。/n/n相关的 QUBO 的转化方法与例子可参考附件 2 中的参考文献。/n/n赛题说明 3：赛题数据/n/n附件 1 中共包含 100 张信用评分卡，每张卡可设置 10 种阈值之一，并对应各自的通过率与坏账率共 200 列，其中 t_ 1 代表信用评分卡 1 的通过率共 10 项，h_ 1 代表信用评分卡 1 的坏账率共 10 项，依次类推 t_ 100 代表信用评分卡 100 的通过率，h_ 100 代表信用评分卡 100 的坏账率。/n/n根据上面的赛题说明及附件 1 中的数据，请你们团队通过建立数学模型完成如下问题 1 至问题 3。/n/n**问题 1：在 100 个信用评分卡中找出 1 张及其对应阈值，使最终收入最多，请针对该问题进行建模，将该模型转为 QUBO 形式并求解。/n/n问题 2：假设赛题说明 3 目前已经选定了数据集中给出的信用评分卡 1、信用评分卡 2 、信用评分卡 3 这三种规则，如何设置其对应的阈值，使最终收入最多，请针对该问题进行建模，将模型转为 QUBO 形式并求解。/n/n问题 3 ：**从所给附录中 100 个信用评分卡中任选取 3 种信用评分卡，并设置合理的阈值，使得最终收入最多，请针对该问题进行建模，并将模型转为 QUBO 形式并求解。/n/n## 问题一：建模及求解/n/n首先，根据题目中的条件，最终收入可以定义为：/n/n最终收入 = 贷款利息收入 － 坏账损失/n/n其中，贷款利息收入是固定的，坏账损失可以根据所选信用评分卡和阈值进行计算。因此，我们的目标是选择一个信用评分卡和相应的阈值，使得坏账损失最小，从而达到最大化最终收入的目的。/n/n设选定的信用评分卡为 $i$，对应的阈值为 $j$，则坏账损失可以表示为：/n/n$$B_i = /text{贷款资金} /times t_{i,j} /times h_{i,j}$$/n/n其中，$/text{贷款资金}$ 为 1000000 元，$t_{i,j}$ 和 $h_{i,j}$ 分别为选定的信用评分卡 $i$ 在阈值 $j$ 下的通过率和坏账率。/n/n将上述式子代入最终收入的定义中，可以得到：/n/n$$/text{最终收入} = 80000 - B_i$$/n/n因此，问题一可以转化为选择一个信用评分卡和相应的阈值，使得 $B_i$ 最小。为了方便求解，我们可以将目标函数转化为二次函数的形式。/n/n设 $x_{i,j}$ 为信用评分卡 $i$ 在阈值 $j$ 下是否被选择，即：/n/n$$x_{i,j} = /begin{cases} 1, & /text{if choose card } i /text{ with threshold } j// 0, & /text{otherwise} /end{cases}$$/n/n则目标函数可以表示为：/n/n$$B = /sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} /text{贷款资金} /times t_{i,j} /times h_{i,j} x_{i,j}$$/n/n需要满足以下两个约束条件：/n/n1. 每个信用评分卡只能选择一个阈值，即：/n/n$$/sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1, /forall i /in /{1,2,/dots,100/}$$/n/n2. 只能选择一个信用评分卡，即：/n/n$$/sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1$$/n/n将上述约束条件转化为二进制变量后，可以得到 QUBO 模型的形式：/n/n$$/min_{/mathbf{x}} /left/{ /sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} /text{贷款资金} /times t_{i,j} /times h_{i,j} x_{i,j} /right/}$$/n/n$$/text{s.t. } /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1, /forall i /in /{1,2,/dots,100/}$$/n/n$$/sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1$$/n/n其中，$/mathbf{x}$ 表示所有二进制变量的向量，每个元素 $x_{i,j}$ 取值为 0 或 1。/n/n使用量子算法求解该 QUBO 模型，可以得到最优解 $/mathbf{x}^$，从而得到最终收入为：/n/n$$/text{最终收入} = 80000 - /min_{/mathbf{x}} /left/{ /sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} /text{贷款资金} /times t_{i,j} /times h_{i,j} x_{i,j} /right/}$$/n/n## 问题二：建模及求解/n/n根据题目中的条件，我们需要选择信用评分卡 1、2、3 并分别设置其对应的阈值，使得最终收入最大。/n/n设信用评分卡 $i$ 在阈值 $j$ 下的通过率和坏账率分别为 $t_{i,j}$ 和 $h_{i,j}$，选定的信用评分卡和阈值分别为 $(i_1,j_1)$、$(i_2,j_2)$ 和 $(i_3,j_3)$，则坏账损失可以表示为：/n/n$$B = /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3})$$/n/n其中，$1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})$ 表示至少有一个信用评分卡通过审核的概率，$/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3}$ 表示三个信用评分卡对应的坏账率的平均值。/n/n因此，问题二可以转化为选择三个信用评分卡和相应的阈值，使得 $B$ 最小。同样地，我们可以将目标函数转化为二次函数的形式。/n/n设 $x_{i,j}$ 为信用评分卡 $i$ 在阈值 $j$ 下是否被选择，即：/n/n$$x_{i,j} = /begin{cases} 1, & /text{if choose card } i /text{ with threshold } j// 0, & /text{otherwise} /end{cases}$$/n/n则目标函数可以表示为：/n/n$$B = /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3})$$需要满足以下两个约束条件：1. 每个信用评分卡只能选择一个阈值，即：$$/sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1, /forall i /in /{1,2,/dots,100/}$$2. 必须选择三个信用评分卡，即：$$/sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 3$$将上述约束条件转化为二进制变量后，可以得到 QUBO 模型的形式：$$/min_{/mathbf{x}} /left/{ /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3}) /right/}$$$$/text{s.t. } /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1, /forall i /in /{1,2,/dots,100/}$$$$/sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 3$$其中，$/mathbf{x}$ 表示所有二进制变量的向量，每个元素 $x_{i,j}$ 取值为 0 或 1。使用量子算法求解该 QUBO 模型，可以得到最优解 $/mathbf{x}^$，从而得到最终收入为：$$/text{最终收入} = 80000 - /min_{/mathbf{x}} /left/{ /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3}) /right/}$$## 问题三：建模及求解问题三的建模与问题二类似，只是需要从 100 个信用评分卡中选择 3 个，而不是固定选择信用评分卡 1、2、3。设选定的三个信用评分卡分别为 $i_1$、$i_2$、$i_3$，对应的阈值分别为 $j_1$、$j_2$、$j_3$，则目标函数可以表示为：$$B = /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3})$$需要满足以下三个约束条件：1. 每个信用评分卡只能选择一个阈值，即：$$/sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1, /forall i /in /{1,2,/dots,100/}$$2. 必须选择三个信用评分卡，即：$$/sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 3$$3. 选择的三个信用评分卡必须不同，即：$$x_{i_1,j_1} + x_{i_2,j_2} + x_{i_3,j_3} = 3$$将上述约束条件转化为二进制变量后，可以得到 QUBO 模型的形式：$$/min_{/mathbf{x}} /left/{ /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3}) /right/}$$$$/text{s.t. } /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 1, /forall i /in /{1,2,/dots,100/}$$$$/sum_{i=1}^{100} /sum_{j=1}^{10} x_{i,j} = 3$$$$x_{i_1,j_1} + x_{i_2,j_2} + x_{i_3,j_3} = 3$$其中，$/mathbf{x}$ 表示所有二进制变量的向量，每个元素 $x_{i,j}$ 取值为 0 或 1。使用量子算法求解该 QUBO 模型，可以得到最优解 $/mathbf{x}^*$，从而得到最终收入为：$$/text{最终收入} = 80000 - /min_{/mathbf{x}} /left/{ /text{贷款资金} /times (1 - (1-t_{i_1,j_1})(1-t_{i_2,j_2})(1-t_{i_3,j_3})) /times (/frac{h_{i_1,j_1} + h_{i_2,j_2} + h_{i_3,j_3}}{3}) /right/}$$## 总结本文介绍了银行在授信审核中使用信用评分卡的组合优化问题，以及如何使用 QUBO 模型和量子算法进行求解。该问题旨在通过选择最佳的评分卡组合和阈值设置，最大化银行的最终收入。通过将问题转化为 QUBO 模型，可以利用量子计算机的加速优势，高效地找到最优解，为银行提供更有效的风险控制策