sin²x 积分详解：换元法与半角公式

sin²x 的积分是一个比较简单的三角函数积分，可以通过换元法或者半角公式进行求解。

一、换元法

我们可以将 sin²x 表示为 1-cos²x，即：

∫sin²xdx = ∫(1-cos²x)dx

然后，我们令 u=cosx，那么 du/dx=-sinx，dx=-du/sinx。

将 u 代入上式得

∫sin²xdx = ∫(1-cos²x)dx = ∫(1-u²)(-du/sin(x)) = ∫(u²-1)/sin(x)du

这个积分我们可以通过分式分解，得：

∫sin²xdx = ∫(u²-1)/sin(x)du = ∫u/sin(x)du - ∫du/sin(x) = -cos(x) + ln|csc(x)+cot(x)|+C

其中，C 为常数。

二、半角公式

我们可以将 sin²x 表示为：

sin²x = 1/2 - 1/2cos(2x)

那么，我们可以得到：

∫sin²xdx = ∫(1/2 - 1/2cos(2x))dx = 1/2x - 1/4sin(2x) + C

其中，C 为常数。

三、总结

无论是通过换元法还是半角公式，都可以求得 sin²x 的积分。通过换元法可以得到一个较为复杂的结果，需要进行分式分解等操作，而半角公式则比较简单明了。但是需要注意的是，在使用半角公式时，需要注意 x 的范围，因为当 x 等于 π/2 ± nπ（n 为整数）时，cos(2x) 为 0，此时需要使用其他方法进行求解。