行列式的性质

行列式与转置矩阵的行列式相等，即$|A|=|A^T|$。

交换矩阵的任意两行（列），行列式变号，即$|A|=-|A_{i,j}|$，其中$A_{i,j}$表示交换第$i$行和第$j$行后的矩阵。

如果矩阵的某一行（列）中所有元素都是两数之和，即$a_{i,j}=b_{i,j}+c_{i,j}$，则行列式可以拆成两个行列式的和，即$|A|=|B|+|C|$，其中$B$是将第$i$行替换为$b_{i,j}$后得到的矩阵，$C$是将第$i$行替换为$c_{i,j}$后得到的矩阵。

如果矩阵的某一行（列）中所有元素都乘以一个数$k$，则行列式也乘以$k$，即$|kA|=k^n|A|$，其中$n$为矩阵的阶数。

如果矩阵的两行（列）成比例，即$a_{i,j}=k\cdot b_{i,j}$，则行列式为$0$，即$|A|=0$。

如果矩阵有一行（列）全为$0$，则行列式为$0$，即$|A|=0$。

如果矩阵是上（下）三角矩阵，则行列式为对角线元素的乘积，即$|A|=\prod_{i=1}^n a_{i,i}$。

矩阵可逆的充分必要条件是行列式不等于$0$，即$|A|\neq0$。

对于任意两个矩阵$A$和$B$，有$|AB|=|A|\cdot|B|$。

对于任意一个$n$阶矩阵$A$，有$|A|=|A^T|$