证明：对于每个整数 n ≥ 1，f(n) 等于 n

为了证明给定语句，我们可以使用数学归纳法。

步骤 1：基本情况让我们从证明 n = 1 的基本情况开始。对于 n = 1，我们有列表 [1]，它满足给定条件。因此，f(1) = 1。

步骤 2：归纳假设假设该语句对于某个正整数 k 为真，即 f(k) = k。

步骤 3：归纳步骤我们需要证明该语句对于 k + 1 为真，即 f(k + 1) = k + 1。

考虑以 1 开头，以 k + 1 结尾的正整数列表。最后一项 k + 1 有两种可能性：

最后一项是 k + 1 的因子：在这种情况下，我们可以形成 f(k) 个满足给定条件的列表，并在每个列表的末尾添加最后一项。这给了我们总共 f(k) * 1 = f(k) 个列表。
最后一项不是 k + 1 的因子：在这种情况下，我们可以通过考虑不包含最后一项的列表来形成 f(k + 1) - f(k) 个满足给定条件的列表。这是因为如果最后一项不整除其后继项，我们可以简单地将其移除以获得一个有效的长度为 k 的列表。

因此，我们有 f(k + 1) = f(k) + (f(k + 1) - f(k)) = f(k + 1)，如所要求。

通过数学归纳法，我们证明了对于每个整数 n ≥ 1，f(n) 等于 n。