用c++解决第三种边界条件下的三次样条插值

三次样条插值是一种通过多个数据点插值出一个连续的、光滑的函数的方法。它的基本思想是，在每个相邻的数据点之间插入一个三次多项式，并要求这些多项式在相邻数据点处的一阶导数相等。这样就可以得到一个连续、光滑的函数，同时保证了插值的精度。

在第三种边界条件下，我们需要对插值函数的二阶导数在两个边界点处进行限制。具体来说，我们要求插值函数在两个端点的二阶导数为0，即：

S''(x0) = 0 S''(xn) = 0

其中S(x)是插值函数，x0和xn是数据点的最小和最大值。这个条件可以用三次样条插值中的第二种边界条件来推导，具体可以参考维基百科的介绍。

下面是用c++实现第三种边界条件的三次样条插值的代码：

#include #include #include

using namespace std;

// 定义节点结构体 struct point { double x; double y; };

// 定义三次样条插值函数 double spline_interpolation(double x, const vector& data) { int n = data.size(); vector h(n), alpha(n), l(n), mu(n), z(n), c(n), b(n), d(n);

// 计算h和alpha
for (int i = 1; i < n; i++) {
    h[i] = data[i].x - data[i - 1].x;
    alpha[i] = 3.0 * (data[i + 1].y - data[i].y) / h[i + 1] - 3.0 * (data[i].y - data[i - 1].y) / h[i];
}

// 计算l、mu、z
l[0] = 1.0;
mu[0] = z[0] = 0.0;
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
    l[i] = 2.0 * (data[i + 1].x - data[i - 1].x) - h[i] * mu[i - 1];
    mu[i] = h[i + 1] / l[i];
    z[i] = (alpha[i] - h[i] * z[i - 1]) / l[i];
}

l[n - 1] = 1.0;
z[n - 1] = c[n - 1] = 0.0;
for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
    c[j] = z[j] - mu[j] * c[j + 1];
    b[j] = (data[j + 1].y - data[j].y) / h[j + 1] - (h[j + 1] * (c[j + 1] + 2.0 * c[j])) / 3.0;
    d[j] = (c[j + 1] - c[j]) / (3.0 * h[j + 1]);
}

// 计算插值结果
double y = 0.0;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    if (x >= data[i].x && x <= data[i + 1].x) {
        double dx = x - data[i].x;
        y = data[i].y + b[i] * dx + c[i] * dx * dx + d[i] * dx * dx * dx;
        break;
    }
}

return y;

}

int main() { // 构造测试数据 vector data = { {0.0, 0.0}, {1.0, 1.0}, {2.0, 4.0}, {3.0, 9.0}, {4.0, 16.0} };

// 计算插值结果
double x = 2.5;
double y = spline_interpolation(x, data);
cout << "f(" << x << ") = " << y << endl;

return 0;

}