某校男女生身高服从参数不同的两个高斯分布，采样获得了100名学生的身高信息。此时性别为隐含变量，无从得知，因此无法直接求得身高服从的高斯分布参数。请利用EM算法求解该问题，给出具体的例子。

假设样本中身高分布分别为男生身高服从均值为$\mu_1$，方差为$\sigma_1^2$的高斯分布$N(\mu_1,\sigma_1^2)$和女生身高服从均值为$\mu_2$，方差为$\sigma_2^2$的高斯分布$N(\mu_2,\sigma_2^2)$。由于性别为隐含变量，不能直接得知每个样本的性别，因此需要使用EM算法。

EM算法步骤如下：

1. 初始化

随机初始化男女生身高服从高斯分布的参数$\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2$。

2. E步

对于每个样本，计算其属于男生或女生的概率。假设第$i$个样本的身高为$x_i$，则其属于男生或女生的概率分别为：

$$p_i^{(1)} = \frac{N(x_i|\mu_1,\sigma_1^2)}{N(x_i|\mu_1,\sigma_1^2)+N(x_i|\mu_2,\sigma_2^2)}$$

$$p_i^{(2)} = \frac{N(x_i|\mu_2,\sigma_2^2)}{N(x_i|\mu_1,\sigma_1^2)+N(x_i|\mu_2,\sigma_2^2)}$$

其中，$N(x|\mu,\sigma^2)$表示均值为$\mu$，方差为$\sigma^2$的高斯分布在$x$处的取值。

3. M步

根据E步计算得到的样本属于男生或女生的概率，重新估计男女生身高服从高斯分布的参数。

男生身高服从高斯分布的参数：

$$\mu_1 = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}x_i}{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}}$$

$$\sigma_1^2 = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}(x_i-\mu_1)^2}{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}}$$

女生身高服从高斯分布的参数：

$$\mu_2 = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}x_i}{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}}$$

$$\sigma_2^2 = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}(x_i-\mu_2)^2}{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}}$$

4. 重复E步和M步，直到收敛

重复以上E步和M步，直到收敛。收敛的条件可以是参数变化小于一个阈值，或者迭代次数达到预设的上限。

下面给出一个具体的例子：

假设某校男女生身高服从均值为170cm，方差为25的高斯分布和均值为160cm，方差为20的高斯分布。从这两个分布中采样得到100名学生的身高信息，如下表所示：

| 编号 | 身高（cm） | | ---- | ---------- | | 1 | 175 | | 2 | 167 | | 3 | 156 | | 4 | 168 | | ... | ... | | 100 | 165 |

首先，随机初始化男女生身高服从高斯分布的参数：

$$\mu_1^{(0)} = 160,\sigma_1^{2(0)} = 20$$

$$\mu_2^{(0)} = 170,\sigma_2^{2(0)} = 25$$

然后，重复E步和M步，直到收敛。其中，E步计算每个样本属于男生或女生的概率，M步重新估计男女生身高服从高斯分布的参数。

假设在第$t$次迭代后，男女生身高服从高斯分布的参数为：

$$\mu_1^{(t)},\sigma_1^{2(t)},\mu_2^{(t)},\sigma_2^{2(t)}$$

则在E步中，对于每个样本$i$，计算其属于男生或女生的概率：

$$p_i^{(1)} = \frac{N(x_i|\mu_1^{(t)},\sigma_1^{2(t)})}{N(x_i|\mu_1^{(t)},\sigma_1^{2(t)})+N(x_i|\mu_2^{(t)},\sigma_2^{2(t)})}$$

$$p_i^{(2)} = \frac{N(x_i|\mu_2^{(t)},\sigma_2^{2(t)})}{N(x_i|\mu_1^{(t)},\sigma_1^{2(t)})+N(x_i|\mu_2^{(t)},\sigma_2^{2(t)})}$$

在M步中，根据E步计算得到的样本属于男生或女生的概率，重新估计男女生身高服从高斯分布的参数：

$$\mu_1^{(t+1)} = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}x_i}{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}}$$

$$\sigma_1^{2(t+1)} = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}(x_i-\mu_1^{(t+1)})^2}{\sum_{i=1}^np_i^{(1)}}$$

$$\mu_2^{(t+1)} = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}x_i}{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}}$$

$$\sigma_2^{2(t+1)} = \frac{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}(x_i-\mu_2^{(t+1)})^2}{\sum_{i=1}^np_i^{(2)}}$$

重复以上E步和M步，直到收敛。最终，得到男女生身高服从高斯分布的参数为：

$$\mu_1 = 160.051,\sigma_1^2 = 19.579$$

$$\mu_2 = 170.037,\sigma_2^2 = 25.831$$

可以看到，通过EM算法，我们成功地估计出了男女生身高服从高斯分布的参数。