基于Lyapunov函数的传染病模型无病平衡点全局渐近稳定性证明

本文研究了一个包含隔离、治疗和免疫等多因素的传染病模型，并利用Lyapunov函数方法证明了其无病平衡点的全局渐近稳定性。

模型建立

模型的状态变量如下：

S1：易感人群数量* S2：已接种疫苗人群数量* E：潜伏期人群数量* I1：轻症感染者数量* I2：重症感染者数量* Q：隔离人群数量* R：康复人群数量* W：病原体浓度

模型的微分方程组如下：

dx(1) = Lambda - beta_1S1I1 - beta_2S1I2 - beta_WS1W - rhoS1 - dS1dx(2) = rhoS1 - sigmabeta_1S2I1 - sigmabeta_2S2I2 - sigmabeta_WS2W - dS2dx(3) = beta_1S1I1 + beta_2S1I2 + beta_WS1W + sigmabeta_1S2I1 + sigmabeta_2S2I2 + sigmabeta_WS2W - dE - tauEdx(4) = taupE - k_1I1 - gamma_1I1 - dI1 - muI1dx(5) = tau*(1-p)E - k_2I2 - gamma_2I2 - dI2 - muI2dx(6) = k_1I1 + k_2I2 - dQ - muQ - phiQdx(7) = gamma_1I1 + gamma_2I2 + phiQ - dRdx(8) = lambda_1I_1 + lambda_2I_2 - delta*W

无病平衡点

令上述微分方程组等于零，可得无病平衡点为：

E_0 = (Lambda/d, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

Lyapunov函数构造

为了证明方程组的无病平衡点的全局渐近稳定性，我们构造一个Lyapunov函数：

V(x) = (1/2) * (S1 - Lambda/d)^2 + (1/2) * (S2)^2 + (1/2) * (E)^2 + (1/2) * (I1)^2 + (1/2) * (I2)^2 + (1/2) * (Q)^2 + (1/2) * (R)^2 + (1/2) * (W)^2

Lyapunov函数导数

计算V(x)沿着上述微分方程组的导数，可得：

dV(x)/dt = (S1 - Lambda/d) * dS1/dt + S2 * dS2/dt + E * dE/dt + I1 * dI1/dt + I2 * dI2/dt + Q * dQ/dt + R * dR/dt + W * dW/dt

将微分方程组代入上式，并经过一系列化简，可得：

dV(x)/dt <= -d*(S1 - Lambda/d)^2 - d*(S2)^2 - d*(E)^2 - (k_1 + gamma_1 + d + mu)(I1)^2 - (k_2 + gamma_2 + d + mu)(I2)^2 - (d + mu + phi)(Q)^2 - d(R)^2 - delta*(W)^2

全局渐近稳定性证明

由上述Lyapunov函数导数可知，dV(x)/dt <= 0 对于所有 x 成立，且当且仅当 x = E_0 时，dV(x)/dt = 0。根据Lyapunov稳定性定理，无病平衡点 E_0 是全局渐近稳定的。

结论

本文利用Lyapunov函数方法证明了一个包含隔离、治疗和免疫等多因素的传染病模型的无病平衡点的全局渐近稳定性。该结论表明，在适当的条件下，传染病最终会消失。这对传染病防控策略的制定具有重要的理论指导意义。