如果a²和b²互质，那么a和b互质吗？证明在这里！

如果a²和b²互质，那么a和b互质吗？

证明：

我们要证明的命题是：如果a²和b²互质，那么a和b互质。

假设a²和b²互质，即a²和b²没有共同的质因数。

我们将a和b表示为它们的质因数分解形式： a = p₁^α₁ * p₂^α₂ * ... * pₙ^αₙ b = q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₘ^βₘ

其中，p₁, p₂, ..., pₙ和q₁, q₂, ..., qₘ是不同的质数，α₁, α₂, ..., αₙ和β₁, β₂, ..., βₘ是它们的指数。

根据给定，a²和b²互质，即a²和b²没有共同的质因数。那么，我们可以得出以下两个结论：

1. a的每个质因数的指数αᵢ都是偶数。2. b的每个质因数的指数βⱼ都是偶数。

现在，我们来看a和b是否互质。**假设存在一个公共质因数p，使得p是a和b的公共质因数。**那么，p必须同时整除a和b。

根据a的质因数分解，p必须是a的一个质因数。由于a的每个质因数的指数αᵢ都是偶数，这意味着p必须是a的一个因素的平方。但这与a²和b²互质的假设矛盾，因为a²和b²没有共同的质因数。

因此，我们可以得出结论：如果a²和b²互质，那么a和b互质。