用c++写三次样条插值

三次样条插值是一种用于数据拟合的方法，它可以在给定一组数据点的情况下，通过三次函数来拟合这些数据点，从而得到一个曲线。

以下是使用C++实现三次样条插值的代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义三次样条插值的函数
void spline(vector<double>& x, vector<double>& y, vector<double>& a, vector<double>& b, vector<double>& c, vector<double>& d)
{
    int n = x.size() - 1;
    vector<double> h(n + 1);
    vector<double> alpha(n + 1);
    vector<double> l(n + 1);
    vector<double> mu(n + 1);
    vector<double> z(n + 1);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        h[i] = x[i] - x[i - 1];

    for (int i = 2; i <= n; i++)
        alpha[i] = 3.0 / h[i] * (y[i + 1] - y[i]) - 3.0 / h[i - 1] * (y[i] - y[i - 1]);

    l[1] = 1;
    mu[1] = 0;
    z[1] = 0;

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        l[i] = 2.0 * (x[i + 1] - x[i - 1]) - h[i - 1] * mu[i - 1];
        mu[i] = h[i] / l[i];
        z[i] = (alpha[i] - h[i - 1] * z[i - 1]) / l[i];
    }

    l[n + 1] = 1;
    z[n + 1] = 0;
    c[n + 1] = 0;

    for (int j = n; j >= 1; j--) {
        c[j] = z[j] - mu[j] * c[j + 1];
        b[j] = (y[j + 1] - y[j]) / h[j] - h[j] * (c[j + 1] + 2.0 * c[j]) / 3.0;
        d[j] = (c[j + 1] - c[j]) / (3.0 * h[j]);
        a[j] = y[j];
    }
}

int main()
{
    vector<double> x{ 0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0 };
    vector<double> y{ 0.0, 1.0, 0.0, -1.0, 0.0 };
    vector<double> a(x.size()), b(x.size()), c(x.size()), d(x.size());

    spline(x, y, a, b, c, d);

    for (int i = 1; i < x.size(); i++) {
        cout << "f(" << x[i - 1] << ") = " << a[i] << " + " << b[i] << "(x - " << x[i - 1] << ") + " << c[i] << "(x - " << x[i - 1] << ")^2 + " << d[i] << "(x - " << x[i - 1] << ")^3" << endl;
    }

    return 0;
}

上述代码中，我们首先定义了一个spline()函数来计算三次样条插值的系数。然后，在主函数中，我们定义了一组$x$和$y$的值，并调用spline()函数来计算系数。最后，我们输出了每个区间的系数，以便于计算曲线。

需要注意的是，这里的$x$和$y$都是向量，因此我们需要使用vector来定义。此外，我们定义了四个向量$a$，$b$，$c$和$d$来存储计算出来的系数。最后，我们使用了一个for循环来输出每个区间的系数。