超材料模型的推导：基于方形刚性板和柔性梁

为了确认这种简化的理解并推广到不同孔隙形状的现象，我们推导出了一个模型，将超材料表示为一系列由柔性梁连接的方形刚性板 [图4(d)]。在回弹过程中，基于超材料的自由能，并通过将离散化的场（un和θn）用二阶展开近似（补充资料[29]），我们得到了运动方程：

∂²u/∂t² - βω²₀L²₁(∂²u/∂y²) = 0; (3) ∂²θ/∂t² - (α-1)ω²₀L²₁(∂²θ/∂y²) + 8ω²₀θ = 0; (4)

其中lp和lb分别是板的对角线长度和梁的长度，L₁ = lp + lb。此外，α = Cs[1 + (lp/lb)²/4Cb，β = klJ/mCb， ω²₀ = Cb/J，其中kl，Cb和Cs分别是梁的拉伸、弯曲和剪切刚度，m和J分别是板的质量和转动惯量。梁的长度和刚度是全局应变的函数，由韧带的变形确定。更多细节可在补充资料[29]中找到。