在三角形中，a+b：b+c：a+c=4:5:6，求sin2A:sin2B:sin2C的比值。

设三角形的三个角分别为A、B、C，则有 $$ \begin{aligned} \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{a+c}{b+c}&=\frac{a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2}{(b+c)(a+b)}+\frac{a+b+a+c+2bc}{(a+b)(b+c)} \ &=\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)} \ &=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)(b+c)} \ &=\frac{36}{4+5+6} \ &=3 \end{aligned} $$

由于sin2x=2sinx*cosx，所以 $$ \begin{aligned} \frac{\sin2A}{\sin2B}+\frac{\sin2B}{\sin2C}+\frac{\sin2C}{\sin2A}&=\frac{2\sin A\cos A}{2\sin B\cos B}+\frac{2\sin B\cos B}{2\sin C\cos C}+\frac{2\sin C\cos C}{2\sin A\cos A} \ &=\frac{\sin A}{\sin B}\cdot\frac{\cos B}{\cos A}+\frac{\sin B}{\sin C}\cdot\frac{\cos C}{\cos B}+\frac{\sin C}{\sin A}\cdot\frac{\cos A}{\cos C} \ &=\frac{(a+c)(a+b)}{(b+c)^2}\cdot\frac{(b+c)(b+a)}{(a+c)^2}+\frac{(b+a)(b+c)}{(a+c)^2}\cdot\frac{(a+c)(a+b)}{(b+c)^2}+\frac{(a+c)(b+c)}{(a+b)^2}\cdot\frac{(a+b)(b+a)}{(a+c)^2} \ &=\frac{(a+b)^2(a+c)^2+(a+b)(b+c)^2(b+a)+(a+c)(b+c)^2(b+a)}{(b+c)^2(a+c)^2(a+b)^2} \ &=\frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3abc)}{(a+b+c)(ab+bc+ca)^2} \ &=\frac{2}{3}\cdot\frac{(a^3+b^3+c^3+3abc)}{a^3+b^3+c^3+3abc+3abc} \ &=\frac{2}{3} \end{aligned} $$

所以，sin2A:sin2B:sin2C=2:2:3，即比值为2:2:3。