证明：当 x 趋近于零时，(x+1)^n 等于 1 + nx

要证明当 x 趋近于零时，(x+1)^n 等于 1 + nx，我们可以使用泰勒展开来近似计算。

根据泰勒展开的公式，我们可以将函数 f(x) 在 x=a 处展开成幂级数形式：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...

我们将 a 设为 0，即对应我们要证明的极限情况。

首先，我们计算 (x+1)^n 的一阶导数：

f'(x) = n(x+1)^(n-1)

然后，我们将 f(x) 和 f'(x) 代入泰勒展开公式，得到：

(x+1)^n = (0+1)^n + n(0+1)^(n-1)(x-0) + ...

化简后可以得到：

(x+1)^n = 1 + nx + ...

根据泰勒展开的定义，我们可以看到当 x 趋近于零时，高阶项的幂次将趋近于无穷小，因此可以忽略。这样，我们就得到了当 x 趋近于零时，(x+1)^n 等于 1 + nx 的近似表达式。

因此，我们证明了当 x 趋近于零时，(x+1)^n 等于 1 + nx。