NOIP2003 提高组 - 神经网络 题解与解析

NOIP2003 提高组 - 神经网络 题解与解析/n/n题目背景/n/n人工神经网络（Artificial Neural Network）是一种新兴的具有自我学习能力的计算系统，在模式识别、函数逼近及贷款风险评估等诸多领域有广泛的应用。对神经网络的研究一直是当今的热门方向，兰兰同学在自学了一本神经网络的入门书籍后，提出了一个简化模型，他希望你能帮助他用程序检验这个神经网络模型的实用性。/n/n题目描述/n/n在兰兰的模型中，神经网络就是一张有向图，图中的节点称为神经元，而且两个神经元之间至多有一条边相连，下图是一个神经元的例子：/n/n/n/n神经元〔编号为 $i$）/n/n图中，$X_1 /sim X_3$ 是信息输入渠道，$Y_1 /sim Y_2$ 是信息输出渠道，$C_i$ 表示神经元目前的状态，$U_i$ 是阈值，可视为神经元的一个内在参数。/n/n神经元按一定的顺序排列，构成整个神经网络。在兰兰的模型之中，神经网络中的神经元分为几层；称为输入层、输出层，和若干个中间层。每层神经元只向下一层的神经元输出信息，只从上一层神经元接受信息。下图是一个简单的三层神经网络的例子。/n/n/n/n兰兰规定，$C_i$ 服从公式：（其中 $n$ 是网络中所有神经元的数目）/n/n$$C_i=//left(//sum//limits_{(j,i) //in E} W_{ji}C_{j}//right)-U_{i}$$/n/n公式中的 $W_{ji}$（可能为负值）表示连接 $j$ 号神经元和 $i$ 号神经元的边的权值。当 $C_i$ 大于 $0$ 时，该神经元处于兴奋状态，否则就处于平静状态。当神经元处于兴奋状态时，下一秒它会向其他神经元传送信号，信号的强度为 $C_i$。/n/n如此．在输入层神经元被激发之后，整个网络系统就在信息传输的推动下进行运作。现在，给定一个神经网络，及当前输入层神经元的状态（$C_i$），要求你的程序运算出最后网络输出层的状态。/n/n输入格式/n/n输入文件第一行是两个整数 $n$（$1 //le n //le 100$）和 $p$。接下来 $n$ 行，每行 $2$ 个整数，第 $i+1$ 行是神经元 $i$ 最初状态和其阈值（$U_i$），非输入层的神经元开始时状态必然为 $0$。再下面 $p$ 行，每行有两个整数 $i,j$ 及一个整数 $W_{ij}$，表示连接神经元 $i,j$ 的边权值为 $W_{ij}$。/n/n输出格式/n/n输出文件包含若干行，每行有 $2$ 个整数，分别对应一个神经元的编号，及其最后的状态，$2$ 个整数间以空格分隔。仅输出最后状态大于 $0$ 的输出层神经元状态，并且按照编号由小到大顺序输出。/n/n若输出层的神经元最后状态均小于等于 $0$，则输出 NULL。/n/n样例 #1/n/n### 样例输入 #1/n/n/n5 6/n1 0/n1 0/n0 1/n0 1/n0 1/n1 3 1/n1 4 1/n1 5 1/n2 3 1/n2 4 1/n2 5 1/n/n/n### 样例输出 #1/n/n/n3 1/n4 1/n5 1/n/n/n提示/n/n**【题目来源】/n/nNOIP 2003 提高组第一题内容：/n/n解题思路**/n/n本题要求计算神经网络中输出层的状态，根据题目描述，我们可以使用广度优先搜索（BFS）的方法来模拟整个神经网络的运行过程。/n/n首先，我们需要构建神经网络的图，使用邻接表来表示。对于每个神经元，我们使用一个二维数组 graph 来存储其连接的神经元的信息。graph[i] 表示神经元 i 连接的所有神经元，其中每个元素 (j, w) 表示从神经元 i 到神经元 j 的边的权值为 w。/n/n接下来，我们定义一个数组 C 来存储神经元的状态。初始时，输入层的神经元的状态已知，我们将其保存在 C 数组中。对于非输入层的神经元，初始状态为 0。/n/n然后，我们使用 BFS 来模拟神经网络的运行过程。从输入层的神经元开始，依次遍历每一层的神经元，并更新其状态。具体步骤如下：/n/n1. 将输入层的神经元加入队列，并将其状态设置为 C[i]。/n2. 循环遍历队列中的神经元，取出一个神经元 cur。/n3. 遍历 cur 连接的所有神经元 next，计算 next 的状态 C[next]。/n - 计算 C[next] 的公式为：C[next] = C[next] + W[cur][next] * C[cur]。/n - 如果 C[next] 大于 0 并且 next 是输出层的神经元，则将 next 加入结果集 output 中。/n - 如果 C[next] 大于 0，则将 next 加入队列中。/n4. 返回结果集 output。/n/n最后，我们对结果集 output 进行排序，并按照题目要求输出。/n/n算法复杂度/n/n- 时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 是神经元的数量。/n- 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是神经元的数量。/n/n代码实现/n/npython/nfrom collections import deque/n/ndef neural_network(n, p, initial_states, thresholds, connections):/n # 构建神经网络的图/n graph = [[] for _ in range(n)]/n for i, j, w in connections:/n graph[i-1].append((j-1, w))/n /n # 初始化神经元的状态/n C = initial_states/n /n # BFS 模拟神经网络的运行/n output = []/n queue = deque()/n for i in range(n):/n if i < len(initial_states):/n C[i] = initial_states[i]/n queue.append(i)/n else:/n C[i] = 0/n /n while queue:/n cur = queue.popleft()/n for next, w in graph[cur]:/n C[next] += w * C[cur]/n /n if C[next] > 0:/n if next >= n - p:/n output.append((next+1, C[next]))/n queue.append(next)/n /n # 对结果进行排序并输出/n output.sort()/n if output:/n for i, c in output:/n print(i, c)/n else:/n print(/'NULL/')/n/n# 读取输入/nn, p = map(int, input().split())/ninitial_states = []/nthresholds = []/nconnections = []/nfor _ in range(n):/n c, u = map(int, input().split())/n initial_states.append(c)/n thresholds.append(u)/nfor _ in range(p):/n i, j, w = map(int, input().split())/n connections.append((i, j, w))/n/n# 调用函数进行计算/nneural_network(n, p, initial_states, thresholds, connections)/n/n