四阶行列式展开法计算实例详解

使用展开法计算四阶行列式：实例详解

本文将通过一个实例，教你如何使用展开法计算四阶方阵的行列式。

问题： 计算以下四阶方阵A的行列式：

A = [[2, 3, 1, 5], [4, 0, -2, 1], [1, 2, 3, 4], [3, 1, 2, 0]]

步骤一：选择展开的行或列

我们可以选择按照任意一行或一列展开。为了简化计算，我们选择按照第一列展开。

步骤二：应用展开公式

按照第一列展开方阵A，得到以下展开式：

|A| = 2 * (-1)^(1+1) * |A₁₁| + 4 * (-1)^(2+1) * |A₂₁| + 1 * (-1)^(3+1) * |A₃₁| + 3 * (-1)^(4+1) * |A₄₁|

其中：

• |A| 表示方阵A的行列式。* |A₁₁|、|A₂₁|、|A₃₁| 和 |A₄₁| 分别是去掉第一列后剩下的 3x3 方阵的行列式。* (-1)^(i+j) 是行号 i 和列号 j 的和的奇偶性决定的符号因子。

步骤三：计算 3x3 方阵的行列式

现在我们需要计算以下 3x3 方阵的行列式：

|A₁₁| = [[0, -2, 1], [2, 3, 4], [1, 2, 0]]

|A₂₁| = [[3, 1, 5], [1, 2, 4], [2, 3, 0]]

|A₃₁| = [[3, 1, 5], [4, 0, 1], [2, 3, 2]]

|A₄₁| = [[3, 1, 5], [4, 0, -2], [1, 2, 3]]

你可以使用任何你喜欢的方法计算这些 3x3 方阵的行列式，例如再次使用展开法或者使用其他方法，例如 Sarrus 法则。

步骤四：代入计算结果

将计算得到的 3x3 方阵的行列式代入步骤二的展开式中，并按照加法和减法的规则计算，即可得到四阶方阵A的行列式的结果。

总结:

虽然使用展开法计算四阶方阵的行列式可能比较繁琐，但是它提供了一种系统化的方法来解决这个问题。 通过逐步分解计算过程，你可以清晰地理解每一步的计算逻辑，最终得到正确的结果。