四阶行列式计算方法详解：Sarrus法则与展开法

计算四阶方阵的行列式是线性代数中的基础运算。本文将介绍两种常用的计算方法：Sarrus法则和展开法。

一、Sarrus法则

Sarrus法则是一种简单直观的计算3阶和4阶行列式的方法。

1. 构成6x6方阵

将原4x4方阵A首尾相连，构成一个6x6的方阵：

A = [[a, b, c, d], [e, f, g, h], [i, j, k, l], [m, n, o, p]]

A' = [[a, b, c, d, a, b], [e, f, g, h, e, f], [i, j, k, l, i, j], [m, n, o, p, m, n], [a, b, c, d, a, b], [e, f, g, h, e, f]]

2. 计算对角线乘积

分别计算三条主对角线和三条副对角线上元素的乘积：

主对角线：a*f*k*p，b*g*l*m，c*h*i*n* 副对角线：d*f*i*m，a*g*j*n，b*h*k*o

3. 计算行列式

将三条主对角线乘积之和减去三条副对角线乘积之和，即可得到行列式的值：

|A| = afkp + bglm + chin - dfim - agjn - bhko

二、展开法

展开法适用于任意阶的方阵，其基本思想是将行列式分解为多个低阶行列式的计算。

1. 选择一行或一列

选择方阵A的任意一行或一列进行展开。通常选择元素较多为0的行或列可以简化计算。

2. 计算余子式

对于选定行或列的每个元素，计算其对应的余子式。余子式是删除该元素所在行和列后得到的低阶行列式。

3. 计算行列式

将每个元素与其对应的余子式相乘，并根据代数余子式的符号规则进行加减运算。

例如，选择按照第一行展开方阵A：

|A| = a * |[[f, g, h], [j, k, l], [n, o, p]]| - b * |[[e, g, h], [i, k, l], [m, o, p]]| + c * |[[e, f, h], [i, j, l], [m, n, p]]| - d * |[[e, f, g], [i, j, k], [m, n, o]]|

每个3x3的行列式可以使用Sarrus法则计算，最终得到|A|的值。

三、总结

Sarrus法则适用于计算3阶和4阶行列式，而展开法则适用于任意阶的方阵。选择哪种方法取决于方阵的阶数和具体形式。

希望本文能帮助您理解四阶行列式的计算方法。如还有疑问，欢迎随时提出。