多项式次数与因式关系：O(f(x))=1，(f(x),f'(x))=1等价条件分析

多项式次数与因式关系深度解析：从 O(f(x))=1 到不可约因式

本文将深入探讨多项式 f(x) 的次数与其因式之间的关系，特别是当 f(x) 的次数为 1 时的特性。

问题背景：

设 f(x)∈P[x]，以下哪个选项与其他选项等价？

(A) O(f(x))=1，f(x)在P[x]中无重因式.(B) (f(x), f'(x))=1.(C) O(f'(x))=0.(D) f(x)的所有不可约因式为一次的.

其中，O 代表多项式的次数。

选项分析：

• 选项 A： O(f(x)) = 1 表示 f(x) 的次数为 1，意味着 f(x) 是一个线性多项式。f(x) 在 P[x] 中无重因式，意味着 f(x) 不能被分解为重复的因式。

• 选项 B： (f(x), f'(x)) = 1 表示 f(x) 和它的导数 f'(x) 的最大公因式为 1，也就是说 f(x) 与 f'(x) 互素。

• 选项 C： O(f'(x)) = 0 表示 f'(x) 的次数为 0，这意味着 f'(x) 是一个常数。

• 选项 D： f(x) 的所有不可约因式为一次的，意味着 f(x) 不能被分解为次数高于一次的不可约因式。

结论：

实际上，选项 A、B、C、D 都是等价的。

• 当 f(x) 的次数为 1 时，它必然没有重因式，因为一次多项式只有一个根。* 一次多项式的导数是一个常数，其次数为 0。* 如果一个多项式与其导数互素，则该多项式没有重根，意味着它没有重因式。* 由于 f(x) 的次数为 1，它的所有不可约因式必然也是一次的。

因此，以上四个选项都描述了 f(x) 是一个线性多项式且没有重根的特性，它们之间是等价的。