判断多项式无重因式的条件

设f(x)∈P[x]，若

(A) O(f(x))=1+ (B) (f(x),f'(x))=1. (C) O(f'(x))=0. (D) f(x)的所有不可约因式为一次的.

则f(x)在P[x]中无重因式。

分析：

根据设定，我们有以下四个选项：

(A) O(f(x)) = 1+ (B) (f(x), f'(x)) = 1. (C) O(f'(x)) = 0. (D) f(x)的所有不可约因式为一次的.

结论：

选项A、B、C、D均为判断f(x)在P[x]中无重因式的正确条件。

解释：

• 选项A：O(f(x))表示f(x)的次数（即最高次项的次数），如果O(f(x)) = 1+，则意味着f(x)的次数至少为1。这保证了f(x)不会是一个常数，从而不会有重因式。

• 选项B： (f(x), f'(x)) 表示f(x)和它的导数f'(x)之间的最大公因式。如果(f(x), f'(x)) = 1，则表示f(x)与它的导数f'(x)是互素的。这意味着f(x)与f'(x)没有共同的因子，进而保证了f(x)没有重因式。

• 选项C： O(f'(x))表示f'(x)的次数。如果O(f'(x)) = 0，则意味着f'(x)的次数为0，即f'(x)是一个常数。这说明f(x)是一个线性函数，而线性函数没有重因式。

• 选项D： f(x)的所有不可约因式都是一次的，这意味着f(x)不能被分解为更小次数的不可约因式。由于设定中要求f(x)在P[x]中无重因式，所以这个选项是正确的。

因此，选项A、B、C、D都是判断f(x)在P[x]中无重因式的正确条件。